Ce que tu vas savoir faire
Construire une loi discrète, calculer son espérance, interpréter un gain net et comparer une distribution observée à une loi binomiale.
Appuis : variables aléatoires en Première, loi binomiale et moyennes et dispersion.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
- Définis précisément ce que mesure X et ses valeurs possibles.
- Vérifie que les probabilités totalisent 1.
- Sépare les probabilités du modèle, les effectifs observés et leurs moyennes.
1. Définir une variable aléatoire
Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d’une expérience. Elle peut représenter un nombre de succès, une dépense ou un gain. Sa loi associe à chaque valeur possible sa probabilité.
| Valeur de X | −2 | 0 | 4 |
|---|---|---|---|
| Probabilité | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
Les probabilités sont entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. Ici P(X≥0)=0,5+0,3=0,8, tandis que P(X>0)=0,3. La présence ou l’absence de l’égalité change l’événement.
2. Calculer et interpréter l’espérance
L’espérance est une moyenne théorique pondérée par les probabilités. Pour la loi précédente, E(X)=−2×0,2+0×0,5+4×0,3=0,8.
Aucune issue ne donne pourtant X=0,8. Ce résultat décrit une moyenne à long terme lors de répétitions indépendantes du même modèle, pas une valeur certaine lors d’une expérience.
Ne pas diviser une seconde fois
Les probabilités totalisent déjà 1. Après avoir additionné les produits xᵢpᵢ, on ne divise pas par le nombre de valeurs possibles.
Pause mémoire · Une moyenne théorique
X vaut 0 avec probabilité 0,8 et 10 avec probabilité 0,2. Quelle est son espérance ?
Voir le raisonnement et la réponse
La moyenne est pondérée : 0×0,8+10×0,2=2, et non la moyenne simple de 0 et 10.
3. Distinguer gain brut et gain net
Un jeu fictif demande une participation de 3 euros et verse 10 euros avec probabilité 0,2, sinon rien. Le gain net X vaut 7 euros en cas de succès et −3 euros sinon.
Le modèle indique une perte moyenne de 1 euro par partie sur un grand nombre de répétitions. Il ne prédit pas une perte de 1 euro à chaque partie. Un jeu dit équitable au sens de l’espérance a une espérance de gain net nulle ; cela ne supprime pas le risque de perte.
Ces exemples sont des situations mathématiques fictives, pas une invitation à jouer ni un conseil financier.
4. Nombre de succès et fréquence
Si X suit B(n ; p), alors E(X)=np. La fréquence des succès est F=X/n. Sa moyenne théorique vaut p.
Par exemple, pour n=20 et p=0,3, le nombre moyen de succès vaut 6 et la fréquence moyenne théorique vaut 0,3. Un échantillon peut cependant contenir 4, 7 ou 9 succès.
Il faut distinguer n, le nombre d’essais dans un échantillon, et N, le nombre d’échantillons simulés. Avec N=400 et n=20, on réalise 8000 essais élémentaires.
5. Comparer une distribution observée au modèle
Avec X suivant B(3 ; 0,5), les probabilités pour X=0,1,2,3 sont respectivement 0,125 ; 0,375 ; 0,375 ; 0,125. Sur 80 répétitions, les effectifs moyens attendus sont donc 10, 30, 30 et 10.
Une observation possible
On observe les effectifs 8, 34, 27, 11. Leur somme vaut 80. La moyenne observée est (0×8+1×34+2×27+3×11)/80=1,5125, proche de l’espérance 3×0,5=1,5, mais non égale.
Dans un tableur, compare un diagramme en bâtons des fréquences observées aux probabilités théoriques. Les différences fluctuent d’une simulation à l’autre. Une proximité ne prouve pas définitivement un modèle, et un petit écart ne suffit pas à le rejeter.
Le repère algorithmique propose un programme qui produit les effectifs pour chaque valeur de X. Le simulateur ci-dessous montre plutôt la distribution des fréquences F=X/n.
6. Expérimenter avec les fréquences
Commence avec p=0,3, n=20 et N=400. Relance pour observer la fluctuation, puis passe n à 80. À p fixé, les fréquences ont tendance à être moins dispersées lorsque la taille des échantillons augmente.
Les résultats apparaîtront ici. Les calculs restent sur ton appareil, sans transmission ni stockage.
Le tableau produit utilise l’écart-type observé s pour compter des fréquences à différentes distances de p. Ces observations prolongent la fluctuation étudiée en Première ; elles ne sont pas des tests statistiques formels ni une garantie de pourcentages fixes.
Pause mémoire · n ou N ?
On simule 100 échantillons de 20 essais. Combien d’essais réalise-t-on ?
Voir le raisonnement et la réponse
Chacun des 100 échantillons contient 20 essais : N×n=2000.
7. Vérifier sa compréhension
X suit B(10 ; 0,2). Donne E(X). Dans quatre échantillons, les nombres de succès sont 1, 3, 0 et 4 : calcule leur moyenne et la moyenne des fréquences.
Afficher la correction
E(X)=10×0,2=2. La moyenne observée des nombres de succès est (1+3+0+4)/4=2 ; celle des fréquences vaut 2/10=0,2. Cette égalité avec le modèle est possible, mais elle n’est pas garantie à chaque simulation.
À retenir
Une loi fournit des probabilités ; une simulation fournit des observations. L’espérance est une moyenne théorique, qui conserve l’unité de X. Les fluctuations ne disparaissent pas à chaque répétition.
La bonne routine pour retenir
Retrouve demain un exemple où l’espérance n’est pas une valeur possible. Plus tard, distingue en une phrase le nombre d’essais, le nombre d’échantillons et le nombre de succès.