Ce que tu vas savoir faire
Déterminer une loi de probabilité, calculer et interpréter une espérance, simuler une loi de Bernoulli et analyser les fréquences obtenues sur plusieurs échantillons.
Appuis : épreuves de Bernoulli, moyenne et écart-type.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
En clair : Une variable aléatoire attribue un nombre à chaque résultat possible. Son espérance est une moyenne calculée avec les probabilités comme poids.
- Liste toutes les valeurs possibles de X et leurs probabilités, dont la somme doit être 1.
- Multiplie chaque valeur par sa probabilité puis additionne les produits.
- Interprète l’espérance comme une moyenne théorique ; une seule expérience n’est pas obligée de donner cette valeur.
1. Une variable aléatoire prend une valeur selon l’issue
Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d’une expérience. Ici, elle prend un nombre fini de valeurs possibles : un gain, un coût, un nombre de succès, etc. On la note souvent X. Le nombre obtenu lors d’une réalisation est une valeur de X.
L’événement {X = a} rassemble les issues qui donnent la valeur a. L’événement {X ≤ a} rassemble celles donnant une valeur au plus égale à a. Pour calculer P(X ≤ a), on additionne les probabilités des valeurs admissibles, car ces événements sont disjoints.
2. Construire la loi de probabilité
La loi de X associe à chaque valeur xi sa probabilité pi. Chaque probabilité est entre 0 et 1, et leur somme vaut 1. On regroupe les issues donnant la même valeur avant de construire le tableau.
Un jeu fictif, uniquement pour l’étude
On lance un dé équilibré. Le paiement brut est 0 € pour 1, 2 ou 3 ; 3 € pour 4 ou 5 ; 6 € pour 6. La participation coûte 2 €. On définit X comme le gain net, paiement reçu moins participation.
| Gain net xi, en euros | −2 | 1 | 4 |
|---|---|---|---|
| Probabilité pi | 3/6 = 1/2 | 2/6 = 1/3 | 1/6 |
Les probabilités totalisent 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1. P(X ≤ 1) = 1/2 + 1/3 = 5/6. P(X > 0) = 1/3 + 1/6 = 1/2. P(X = 0) = 0 puisque zéro ne figure pas parmi les valeurs possibles.
Distinguer brut et net
Recevoir 3 € après avoir payé 2 € correspond à un gain de 1 €, pas de 3 €. Il faut définir précisément la variable avant de calculer sa loi ou son espérance.
3. Calculer et interpréter l’espérance
L’espérance est la moyenne théorique des valeurs, pondérées par leurs probabilités :
Espérance du gain net
E(X) = −2 × 1/2 + 1 × 1/3 + 4 × 1/6 = −1 + 1/3 + 2/3 = 0 €. Le jeu est dit équitable au sens de l’espérance : la moyenne théorique du gain net est nulle. Cela ne garantit pas une partie sans perte, ni un bilan exactement nul après un nombre fixé de parties.
Une espérance peut ne pas être une valeur possible de X. Si une dépense aléatoire vaut 0, 10 ou 30 € avec les probabilités 0,7, 0,2 et 0,1, son espérance vaut 0 × 0,7 + 10 × 0,2 + 30 × 0,1 = 5 €. Aucun des trois paiements n’est pourtant égal à 5 €.
Dans des répétitions nombreuses et indépendantes du même modèle, les moyennes observées tendent à se stabiliser près de l’espérance. L’espérance conserve l’unité de la variable. Une espérance négative pour un gain net signale un désavantage moyen, pas une perte certaine à chaque essai.
PAUSE MÉMOIRE · JE ME SOUVIENS
Calculer une espérance
La variable X vaut 0 avec probabilité 0,2 et 2 avec probabilité 0,8. Quelle est son espérance ?
Voir le raisonnement et la réponse
E(X) = 0 × 0,2 + 2 × 0,8 = 1,6. La moyenne théorique n’est pas nécessairement une issue possible.
4. Loi de Bernoulli
La variable B vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec. Si le succès a pour probabilité p, alors :
| b | 0 | 1 |
|---|---|---|
| P(B = b) | 1 − p | p |
Coder les résultats par 0 et 1 est utile : leur somme compte les succès et leur moyenne est la fréquence des succès. Dans une liste de n résultats, F = nombre de 1 / n. La fréquence F dépend du tirage ; p est un paramètre fixé du modèle.
5. Fluctuation d’échantillonnage
Un échantillon de taille n contient n essais indépendants. Deux échantillons de même taille et de même paramètre p peuvent produire des fréquences différentes. Cette variation est la fluctuation d’échantillonnage.
Pour l’étudier, on simule N échantillons de taille n, puis on conserve leurs N fréquences f1, …, fN. Attention : n est le nombre d’essais par échantillon ; N est le nombre d’échantillons. La simulation totale comporte N × n essais.
On calcule la moyenne des fréquences et leur écart-type observé s. On peut représenter un histogramme des fréquences ou un nuage (numéro d’échantillon ; fréquence). On compte ensuite les fréquences dans [p − s ; p + s], [p − 2s ; p + 2s] et [p − 3s ; p + 3s]. Les fréquences, elles, restent toujours entre 0 et 1.
Pas de conclusion automatique
Les pourcentages obtenus dépendent de la simulation, de p et de n. Ils ne sont pas toujours exactement 68 %, 95 % et 99,7 %. Une fréquence éloignée de p peut être rare sans être impossible. Ce cours n’utilise pas ces observations comme un test formel pour accepter ou rejeter une hypothèse.
6. Expérimenter dans le navigateur
Commence avec p = 0,3, n = 100 et N = 400. Relance plusieurs fois, puis passe n à 400 en conservant p et N. Observe la diminution de la dispersion. Les calculs ci-dessous restent sur ton appareil ; aucune donnée n’est envoyée.
Les résultats apparaîtront ici après le lancement.
7. Comprendre la fluctuation sans programmer
Sur un échantillon de taille n, la fréquence est nombre de succès ÷ n. Par exemple, avec 30 succès sur 100 essais, la fréquence observée vaut 30/100 = 0,30. Avec 35 succès, elle vaut 0,35 : observer une fréquence différente de p ne suffit pas à rejeter le modèle.
Comparer des tailles d’échantillons
À probabilité de succès p fixée, une taille d’échantillon plus grande réduit en général la dispersion des fréquences. La dispersion est de l’ordre de 1/√n : pour la diviser approximativement par 2, on multiplie la taille par 4 ; pour la diviser par 3, par 9.
Il faut distinguer n (nombre d’essais dans un échantillon) et N (nombre d’échantillons observés). Faire davantage d’échantillons aide à voir la répartition, mais ne change pas la taille de chaque échantillon.
La simulation de la partie précédente est facultative : les résultats numériques ne remplacent ni les formules ni les raisonnements accessibles sur papier.
8. Vérifier sa compréhension
Une variable X vaut −5, 0 ou 10 avec probabilités 0,2, 0,5 et 0,3. Calcule P(X ≤ 0) et E(X). Puis explique pourquoi 35 succès sur 100 essais ne contredisent pas automatiquement un modèle p = 0,3.
Afficher la correction
P(X ≤ 0) = 0,2 + 0,5 = 0,7. E(X) = −5 × 0,2 + 0 × 0,5 + 10 × 0,3 = 2. Avec 35 succès, la fréquence est 0,35, à distance 0,05 de p. Une fréquence d’échantillon fluctue ; cet écart doit être replacé dans la dispersion des fréquences possibles, par exemple grâce aux simulations, sans conclure à lui seul que le modèle est faux.
PAUSE MÉMOIRE · J’APPLIQUE
Comprendre une fréquence
Un échantillon de 60 essais donne 18 succès. Quelle est la fréquence observée ?
Voir le raisonnement et la réponse
La fréquence vaut 18/60 = 0,30, soit 30 %. Elle peut différer de la probabilité théorique.
À retenir
Une loi donne des valeurs et leurs probabilités. L’espérance est une moyenne théorique, pas une prédiction certaine. Pour une Bernoulli, E(B) = p ; pour un échantillon, la fréquence observée fluctue autour de ce paramètre.
À toi de jouer !
Retrouve 8 exercices interactifs liés à cette leçon, avec vérification des réponses et corrigés détaillés.
La bonne routine pour retenir
Pas besoin de tout réussir du premier coup : reviens à la notion à plusieurs moments, sans relire immédiatement la correction.
- Maintenant : réponds à une pause mémoire sans regarder le cours.
- Après une pause : refais une question et explique les étapes à voix haute ou par écrit.
- Dans quelques jours : mélange cet exercice avec d’autres chapitres pour retrouver la bonne méthode.