À mobiliser toute l’année
Ce repère prépare l’étude des séries à deux variables et des fréquences simulées. Les données numériques d’exemple sont fictives.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
En clair : La moyenne décrit un niveau global ; la médiane un centre de classement ; les indicateurs de dispersion disent si les données sont rapprochées.
- Vérifie l’effectif, trie les valeurs pour la médiane et les quartiles.
- Pour la moyenne, additionne les valeurs puis divise par l’effectif ; avec des poids, calcule la somme pondérée.
- Choisis un indicateur de dispersion adapté, puis écris l’unité et une interprétation.
1. Population, caractère, effectifs et fréquences
La population est l’ensemble des individus étudiés. Un échantillon est une partie de cette population. Le caractère ou la variable décrit ce que l’on mesure : un mode de transport est qualitatif ; un nombre d’achats est quantitatif discret ; une durée est quantitative continue.
L’effectif ni compte les individus associés à une valeur ou à une classe. Pour un total N > 0, la fréquence est fi = ni/N. Les effectifs totalisent N et les fréquences totalisent 1, soit 100 %. Les fréquences cumulées croissantes additionnent toutes les fréquences jusqu’à une valeur donnée.
Une série suivie dans tout le repère
Huit durées, en minutes, ont été mesurées : 8 ; 10 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20. La valeur 10 a un effectif de 2 et une fréquence de 2/8 = 25 %. Quatre observations sont au plus égales à 12, soit une fréquence cumulée de 50 %.
Regrouper des valeurs en classes fait perdre de la précision. Si on sait seulement que dix durées sont dans [10 ; 20[, on ne connaît pas leur somme exacte ; utiliser le centre 15 donne une approximation qui doit être annoncée.
2. Moyenne simple et pondérée
La moyenne partage la somme totale équitablement entre les observations. Avec des valeurs xi d’effectifs ni :
Équivalent : x̄ = f1x1 + … + fkxk.
Dans la série des huit durées, la somme est 108 minutes, donc x̄ = 108/8 = 13,5 minutes. Si on utilise un tableau des valeurs distinctes, il faut compter deux fois la valeur 10.
Réunir deux groupes
Un groupe de 10 personnes a une moyenne de 12, et un groupe de 30 personnes une moyenne de 16. La moyenne réunie vaut (10 × 12 + 30 × 16)/40 = 15. La moyenne simple (12 + 16)/2 = 14 serait incorrecte, car les groupes n’ont pas la même taille.
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes. Dans la série des durées, remplacer 20 par 100 augmente fortement la moyenne, alors que les six valeurs centrales ne changent pas. Cela motive l’usage d’autres indicateurs.
3. Médiane et quartiles
On commence par trier la série. La médiane partage les observations en deux moitiés. Avec un effectif impair, on prend la valeur centrale. Avec un effectif pair, on choisit ici la moyenne des deux valeurs centrales.
Pour N = 8, les rangs centraux sont 4 et 5 : les valeurs sont 12 et 14. La médiane retenue est donc 13. Au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
Pour les quartiles, on utilise ici la convention scolaire suivante : Q1 est la valeur de rang égal au plus petit entier supérieur ou égal à N/4 ; Q3 est celle de rang égal au plus petit entier supérieur ou égal à 3N/4.
Quartiles des huit durées
N/4 = 2 : Q1 est la 2e valeur, donc 10. 3N/4 = 6 : Q3 est la 6e valeur, donc 16. Au moins 25 % des durées sont au plus égales à 10, et au moins 75 % sont au plus égales à 16.
Conventions des logiciels
Certains logiciels interpolent les quartiles selon d’autres conventions. Pour comparer les résultats, vérifier la définition choisie. Un rang compte des observations ; le quartile est une valeur de la variable, ici exprimée en minutes.
PAUSE MÉMOIRE · JE ME SOUVIENS
Trouver une médiane
La série ordonnée est 8, 10, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Quelle est la médiane ?
Voir le raisonnement et la réponse
Les valeurs centrales sont 12 et 14 ; la médiane est (12 + 14)/2 = 13.
4. Mesurer la dispersion
L’étendue est maximum − minimum. L’écart interquartile est Q3 − Q1. Pour nos durées, l’étendue vaut 20 − 8 = 12 minutes et l’écart interquartile 16 − 10 = 6 minutes.
L’écart-type utilise toutes les observations. On calcule d’abord les écarts à la moyenne, on les élève au carré, puis on fait leur moyenne : c’est la variance descriptive V. L’écart-type est σ = √V.
σ = √V.
Pour les huit durées, la somme des carrés des écarts à 13,5 vaut 126. Donc V = 126/8 = 15,75 min² et σ = √15,75 ≈ 3,97 minutes. L’écart-type retrouve l’unité d’origine ; la variance est exprimée dans l’unité au carré.
À moyenne comparable, un écart-type plus grand indique davantage de dispersion autour de la moyenne. Un écart-type nul signifie que toutes les valeurs sont égales. Il ne faut pas confondre l’écart-type descriptif, avec dénominateur N, et un estimateur calculé avec N − 1 proposé par certains logiciels.
Vérifier les indicateurs sans logiciel
Pour les huit durées, la somme vaut 108 minutes. La moyenne vaut donc 108 ÷ 8 = 13,5 minutes. En classant les données, la médiane est la moyenne des 4ᵉ et 5ᵉ valeurs : (12 + 14)/2 = 13 minutes. La variance vaut 126 ÷ 8 = 15,75 min².
5. Choisir et lire un graphique
Un diagramme en barres compare des catégories ou des valeurs discrètes. La hauteur représente l’effectif ou la fréquence, et les barres sont séparées. Un diagramme circulaire partage un tout : l’angle d’un secteur vaut 360° × fréquence. Une fréquence de 25 % correspond à 90°.
Un histogramme représente des données quantitatives regroupées en intervalles. L’aire des rectangles est proportionnelle aux effectifs. Si les classes ont toutes la même largeur, les hauteurs peuvent directement comparer les effectifs ; sinon, la hauteur doit tenir compte de la largeur.
Classes de largeurs différentes
Une classe [0 ; 10[ contient 20 observations et [10 ; 30[ en contient 30. Les largeurs sont 10 et 20. On peut choisir des hauteurs 20/10 = 2 et 30/20 = 1,5. Le second rectangle est moins haut mais plus large, et son aire représente bien davantage d’observations.
Un diagramme en boîte situe Q1, la médiane et Q3. Avec la convention simple retenue ici, les moustaches rejoignent le minimum et le maximum. D’autres conventions limitent les moustaches et isolent des valeurs atypiques : lire la légende. Pour les durées, les cinq repères sont 8, 10, 13, 16, 20.
Un graphique permet aussi de reconstruire des données : dans un groupe de 80 personnes, un secteur de 90° représente 80 × 90/360 = 20 personnes. Inversement, 12 personnes sur 80 donnent 15 % et un secteur de 54°.
6. Lire avec esprit critique
Vérifier le titre, la source, la période, le champ de population, l’unité et les graduations. Un axe vertical tronqué peut amplifier visuellement une différence ; un dessin en trois dimensions peut déformer les surfaces. Deux graphiques avec des échelles différentes ne se comparent pas simplement à leur hauteur apparente.
Une moyenne ne raconte pas toute une distribution : deux séries peuvent avoir la même moyenne et des dispersions très différentes. De même, un échantillon choisi parmi les personnes volontaires n’est pas automatiquement représentatif de toute la population. Les données manquantes et les changements de définition doivent être signalés.
Pour une fréquence conditionnelle, retrouver le bon total : « parmi les adhérents » exige le nombre d’adhérents au dénominateur. Le chapitre 09 donne un tableau complet et les calculs correspondants.
7. Vérifier sa compréhension
Une série triée contient 2 ; 4 ; 4 ; 6 ; 9. Détermine moyenne, médiane, Q1, Q3 et étendue. Quelle part d’un diagramme circulaire représente la valeur 4 ?
Afficher la correction
La moyenne vaut 25/5 = 5 et la médiane est la troisième valeur, soit 4. Le rang du premier quartile est le plus petit entier ≥ 5/4, donc 2 : Q1 = 4. Le rang du troisième est le plus petit entier ≥ 15/4, donc 4 : Q3 = 6. L’étendue vaut 9 − 2 = 7. La valeur 4 apparaît deux fois sur cinq : 40 %, soit un angle de 144°.
PAUSE MÉMOIRE · J’APPLIQUE
Retrouver une fréquence
Sur 80 personnes, 30 viennent à vélo. Quelle est leur fréquence ?
Voir le raisonnement et la réponse
30/80 = 0,375, soit 37,5 %. La fréquence ne se calcule pas avec 30 comme dénominateur.
À retenir
La moyenne utilise les valeurs et leurs poids ; la médiane et les quartiles utilisent les rangs d’une série triée. La dispersion complète les indicateurs de position. Un graphique doit se lire avec ses unités et sa convention de construction.
À toi de jouer !
Retrouve 8 exercices interactifs liés à cette leçon, avec vérification des réponses et corrigés détaillés.
La bonne routine pour retenir
Pas besoin de tout réussir du premier coup : reviens à la notion à plusieurs moments, sans relire immédiatement la correction.
- Maintenant : réponds à une pause mémoire sans regarder le cours.
- Après une pause : refais une question et explique les étapes à voix haute ou par écrit.
- Dans quelques jours : mélange cet exercice avec d’autres chapitres pour retrouver la bonne méthode.