Ce que tu vas savoir faire
Lire un tableau croisé et un arbre, distinguer P(A ∩ B), PA(B) et PB(A), calculer une probabilité totale et justifier une indépendance.
Appuis : événements comme ensembles et fractions et proportions.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
En clair : « Sachant A » signifie que l’on ne regarde plus que les cas où A est réalisé. On change le dénominateur.
- Nomme clairement l’événement dont on connaît la réalisation.
- Dans un tableau, limite-toi à la ligne ou colonne de ce groupe ; dans un arbre, suis la branche correspondante.
- Divise l’effectif favorable par l’effectif du groupe connu, ou multiplie les branches pour obtenir une intersection.
1. Événements et règles de base
L’univers Ω regroupe les issues possibles d’une expérience aléatoire. Un événement est une partie de cet univers. L’événement A ∩ B signifie « A et B », A ∪ B signifie « A ou B, éventuellement les deux », et le complémentaire de A, noté Ā, signifie « non A ».
P(Ā) = 1 − P(A).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
En cas d’équiprobabilité, P(A) est le nombre d’issues favorables divisé par le nombre total d’issues. Cette règle de comptage ne s’utilise pas sans vérifier que les issues sont aussi probables les unes que les autres.
2. Lire un tableau croisé
Dans un fichier fictif de 200 clients, on choisit un client au hasard, tous les clients ayant la même chance d’être choisis. On note A : « le client a commandé en ligne » et B : « le client est adhérent ».
| Commande | B : adhérent | Non B | Total |
|---|---|---|---|
| A : en ligne | 90 | 30 | 120 |
| Non A : magasin | 20 | 60 | 80 |
| Total | 110 | 90 | 200 |
P(A) = 120/200 = 0,6 ; P(B) = 110/200 = 0,55 ; P(A ∩ B) = 90/200 = 0,45. Cette dernière probabilité prend pour référence l’ensemble des 200 clients.
Les fréquences des totaux de lignes ou de colonnes sont dites marginales. Les cellules décrivent des intersections. On vérifie que les totaux sont cohérents avant de calculer.
3. Conditionner : changer de population de référence
La probabilité de B sachant A, notée PA(B) ou P(B | A), se calcule à l’intérieur de A. Elle est définie si P(A) > 0 :
Donc P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).
Trois questions, trois dénominateurs
« Le client est en ligne et adhérent » : P(A ∩ B) = 90/200 = 45 %.
« Parmi les clients en ligne, il est adhérent » : PA(B) = 90/120 = 75 %.
« Parmi les adhérents, il a commandé en ligne » : PB(A) = 90/110 = 9/11 ≈ 81,82 %.
Les mots « parmi », « sachant que », « chez les » ou « on ne considère que » signalent souvent un conditionnement. Le dénominateur est l’effectif du groupe connu, pas forcément le total général.
Ne pas retourner une condition
PA(B) n’est en général pas égal à PB(A). De même, une intersection n’est pas une probabilité conditionnelle : la cellule est la même, mais la population de référence change.
PAUSE MÉMOIRE · JE ME SOUVIENS
Choisir le bon dénominateur
Parmi 120 clients en ligne, 90 sont adhérents. Combien vaut P(adhérent | en ligne) ?
Voir le raisonnement et la réponse
La probabilité conditionnelle vaut 90/120 = 0,75. Utiliser le total de tous les clients comme dénominateur donnerait une probabilité d’intersection, et non celle sachant que le client est en ligne.
4. Arbre pondéré et probabilités totales
Un arbre décompose l’expérience en étapes. Les probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud ont une somme égale à 1. À partir du deuxième niveau, elles sont conditionnelles au chemin déjà suivi.
Une entreprise fictive reçoit 70 % de ses articles d’un fournisseur A et 30 % d’un autre fournisseur. Parmi les articles du premier, 2 % présentent un défaut D ; parmi ceux du second, 5 % présentent un défaut.
- A : 0,70
- D sachant A : 0,02 → P(A ∩ D) = 0,014.
- Non D sachant A : 0,98 → P(A ∩ D̄) = 0,686.
- Non A : 0,30
- D sachant non A : 0,05 → P(Ā ∩ D) = 0,015.
- Non D sachant non A : 0,95 → P(Ā ∩ D̄) = 0,285.
On multiplie le long d’un chemin. On additionne les probabilités des chemins disjoints qui réalisent le même événement. Ainsi :
= 0,70 × 0,02 + 0,30 × 0,05 = 0,029.
C’est la formule des probabilités totales : D peut provenir du premier fournisseur ou du second, sans recouvrement et sans autre possibilité. Le taux global de défaut est 2,9 %, pas la moyenne non pondérée (2 % + 5 %)/2.
La même idée fonctionne avec trois groupes ou davantage, lorsqu’ils forment une partition de l’univers : groupes disjoints dont la réunion est Ω. On additionne les probabilités des intersections correspondantes.
Retrouver l’origine d’un article défectueux
On sait maintenant que l’article est défectueux. PD(A) = P(A ∩ D)/P(D) = 0,014/0,029 = 14/29 ≈ 48,28 %. L’information « défectueux » modifie donc la proportion provenant de A, qui était de 70 % avant cette information.
5. Indépendance de deux événements
Lorsque P(A) > 0, A et B sont indépendants si savoir que A s’est produit ne change pas la probabilité de B : PA(B) = P(B). Cette définition conduit à la propriété suivante :
En effet, multiplier PA(B) = P(B) par P(A) donne l’égalité du produit. Si P(B) > 0, on peut aussi diviser cette égalité par P(B) : PB(A) = P(A). L’indépendance est donc symétrique. La formulation par le produit reste utilisable pour les événements de probabilité nulle.
Justifier ou réfuter
Dans le tableau des clients, P(A ∩ B) = 0,45 alors que P(A)P(B) = 0,6 × 0,55 = 0,33. Les événements ne sont pas indépendants.
Pour un dé équilibré à six faces, prenons A = « obtenir un nombre pair » et B = « obtenir un nombre au plus égal à 4 ». P(A) = 1/2, P(B) = 2/3 et P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3. Le produit vaut aussi 1/3 : A et B sont indépendants.
Indépendants ne veut pas dire incompatibles. Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble : leur intersection est vide. S’ils ont tous deux une probabilité strictement positive, ils ne sont pas indépendants, car le produit de leurs probabilités n’est pas nul.
6. Vérifier sa compréhension
On sait P(A) = 0,4, PA(B) = 0,3 et PĀ(B) = 0,5. Calcule P(B), PB(A), puis teste l’indépendance.
Afficher la correction
P(A ∩ B) = 0,4 × 0,3 = 0,12. P(B) = 0,4 × 0,3 + 0,6 × 0,5 = 0,42. PB(A) = 0,12/0,42 = 2/7 ≈ 0,2857. L’indépendance n’est pas vérifiée puisque PA(B) = 0,3 ≠ 0,42 = P(B).
PAUSE MÉMOIRE · J’APPLIQUE
Vérifier une indépendance
Si P(A) = 0,4, P(B) = 0,25 et P(A ∩ B) = 0,10, les événements sont-ils indépendants ?
Voir le raisonnement et la réponse
0,4 × 0,25 = 0,10 = P(A ∩ B). L’égalité caractérise l’indépendance de ces deux événements.
À retenir
Conditionner, c’est changer de référence. Dans un arbre : multiplier le long d’un chemin, additionner les chemins disjoints. L’indépendance se justifie par une égalité de probabilités ; elle ne se devine pas à partir du vocabulaire du contexte.
À toi de jouer !
Retrouve 8 exercices interactifs liés à cette leçon, avec vérification des réponses et corrigés détaillés.
La bonne routine pour retenir
Pas besoin de tout réussir du premier coup : reviens à la notion à plusieurs moments, sans relire immédiatement la correction.
- Maintenant : réponds à une pause mémoire sans regarder le cours.
- Après une pause : refais une question et explique les étapes à voix haute ou par écrit.
- Dans quelques jours : mélange cet exercice avec d’autres chapitres pour retrouver la bonne méthode.