Ce que tu vas savoir faire
Représenter des couples de données quantitatives, calculer le point moyen, déterminer et utiliser un ajustement affine, distinguer interpolation et extrapolation.
Appuis : équation d’une droite et moyenne et lecture des données.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
En clair : Un nuage de points relie deux grandeurs mesurées ensemble. Une droite d’ajustement résume une tendance, sans prouver une cause.
- Place les couples (x ; y) en respectant les unités et calcule le point moyen G.
- Propose une droite proche du nuage et repère sa pente ainsi que l’ordonnée à l’origine.
- Utilise la droite pour estimer, en signalant si la prévision sort de la plage observée.
1. Deux variables mesurées ensemble
Une série statistique à deux variables quantitatives est formée de couples (xi ; yi). Chaque couple décrit la même observation : par exemple le budget publicitaire et les ventes d’une boutique sur une période. On ne doit pas trier séparément les deux colonnes, car on détruirait les couples.
| Période | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Budget x, en centaines d’euros | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Ventes y, en dizaines d’articles | 12 | 15 | 19 | 22 |
Le nuage de points est l’ensemble des points Mi(xi ; yi). Ici, les ventes ont tendance à augmenter avec le budget. Les points sont presque alignés : un modèle affine semble plausible sur la plage observée.
2. Le point moyen
Le point moyen G a pour abscisse la moyenne des x et pour ordonnée la moyenne des y :
G(x̄ ; ȳ).
Calcul sur les quatre observations
x̄ = (1 + 2 + 3 + 4)/4 = 2,5 et ȳ = (12 + 15 + 19 + 22)/4 = 17. Le point moyen est donc G(2,5 ; 17). Il correspond à un budget moyen de 250 € et à 170 articles vendus en moyenne.
Le point moyen peut ne correspondre à aucune observation réelle. Il aide à situer le centre du nuage, mais ne suffit pas à juger si une droite décrit correctement les données.
3. Trois façons de proposer une droite
Un ajustement affine consiste à approcher les y observés par des valeurs ŷ = ax + b. La droite ne passe généralement pas par tous les points. Les méthodes ci-dessous sont des outils d’exploration ; aucune démonstration théorique de leurs propriétés n’est exigée.
Au jugé
On trace une droite qui suit la direction générale du nuage, en équilibrant visuellement les points au-dessus et en dessous. On choisit deux points de cette droite pour lire sa pente. Cette méthode est rapide, mais dépend du choix de la personne qui trace.
Droite de Mayer
On ordonne les couples selon x, puis on partage ici les quatre observations en deux groupes de même taille. Le premier groupe a pour point moyen G1(1,5 ; 13,5), le second G2(3,5 ; 20,5). La droite passant par ces deux points a pour pente (20,5 − 13,5)/(3,5 − 1,5) = 3,5 et pour ordonnée à l’origine 13,5 − 3,5 × 1,5 = 8,25.
Pour un nombre impair d’observations, on doit annoncer la convention choisie pour partager les groupes. La droite obtenue peut dépendre de ce partage.
Moindres carrés
Pour chaque observation, l’écart vertical est yi − (axi + b). La méthode des moindres carrés choisit la droite qui rend minimale la somme des carrés de ces écarts. Les carrés évitent que les écarts positifs et négatifs se compensent.
Les coefficients peuvent être fournis par l’énoncé. Pour nos données : ŷ = 3,4x + 8,5. La droite passe par G : 3,4 × 2,5 + 8,5 = 17. Cette propriété vaut pour la régression affine usuelle avec une ordonnée à l’origine libre.
Vérifier les écarts
Les valeurs ajustées sont 11,9 ; 15,3 ; 18,7 ; 22,1. Les écarts observé − ajusté valent 0,1 ; −0,3 ; 0,3 ; −0,1. La somme de leurs carrés vaut 0,20. Pour la droite de Mayer, elle vaut 0,25. Le critère des moindres carrés préfère donc ici la première droite.
PAUSE MÉMOIRE · JE ME SOUVIENS
Lire un point moyen
Les abscisses observées sont 1, 3 et 5. Quelle est leur moyenne ?
Voir le raisonnement et la réponse
(1 + 3 + 5)/3 = 9/3 = 3. C’est l’abscisse moyenne du nuage.
4. Interpoler et extrapoler
Une interpolation estime une valeur pour un x compris dans la plage observée. Pour un budget de 250 €, x = 2,5 et ŷ = 3,4 × 2,5 + 8,5 = 17 : le modèle estime 170 articles.
Une extrapolation utilise un x situé hors de cette plage. Pour 600 €, x = 6 et ŷ = 28,9, soit environ 289 articles. C’est une estimation conditionnelle à la validité du modèle, pas une promesse commerciale. Plus on s’éloigne des observations, plus cette utilisation est fragile.
Retrouver un budget dans le modèle
Pour estimer le budget correspondant à 200 articles, on pose y = 20 et on résout 3,4x + 8,5 = 20. Alors x = 11,5/3,4 ≈ 3,382, soit environ 338 €. Cette résolution inverse de l’équation donnée ne constitue pas une nouvelle régression de x en y.
5. Lire des données et contrôler un ajustement
Sur papier, commence par placer chaque couple (x ; y) du tableau dans un repère, puis observe si les points semblent proches d’une droite. Pour contrôler une droite proposée y = ax + b, remplace x par une valeur du tableau et compare la valeur obtenue à celle de y. Il s’agit d’un ajustement, pas nécessairement d’une égalité exacte pour chaque point.
Pour une activité sur données réelles, utiliser le fichier naissances en France de 2018 à 2023 (CSV), extrait de la figure 1 de l’Insee Focus 339. Prendre x = année − 2018 et y = nombre de naissances, puis représenter le nuage. Le rebond de 2021 montre déjà que les observations ne suivent pas exactement une droite.
6. Garder un regard critique
Avant d’ajuster, regarder le nuage. Une courbure, un point très atypique ou deux groupes distincts peuvent rendre une droite inadaptée. Une association entre budget et ventes ne prouve pas une causalité : saison, prix, qualité ou fréquentation peuvent agir simultanément. Vérifier aussi le champ, l’unité, la période et la source des données.
Une bonne droite sur quatre observations ne justifie pas une projection lointaine. Sur une série temporelle de naissances, une extrapolation linéaire illimitée finirait même par prédire des nombres négatifs, sans signification.
Pour les couples (0 ; 5), (2 ; 9), (4 ; 13), trouve G, une droite exacte, puis indique si l’estimation en x = 3 est une interpolation.
Afficher la correction
G(2 ; 9). La pente vaut (13 − 5)/(4 − 0) = 2, donc y = 2x + 5 passe par les trois points. À x = 3, on obtient 11. C’est une interpolation car 3 est dans [0 ; 4]. À x = 10, ce serait une extrapolation, même si les trois points de départ sont parfaitement alignés.
Une droite d’ajustement n’est pas une certitude
Deux grandeurs peuvent évoluer ensemble sans que l’une soit forcément la cause de l’autre. Plus on extrapole loin des données observées, plus l’estimation doit être présentée avec prudence.
PAUSE MÉMOIRE · J’APPLIQUE
Prévoir sans surinterpréter
On observe des données pour x entre 1 et 3. Utiliser y = 2x + 1 pour prévoir en x = 4, est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
Voir le raisonnement et la réponse
4 se situe en dehors de [1 ; 3] : c’est une extrapolation. Elle peut être fragile, même si le calcul 2 × 4 + 1 = 9 est correct.
À retenir
Conserver les couples, tracer le nuage, calculer G, choisir un ajustement puis interpréter avec prudence. Une droite décrit une tendance ; elle n’explique pas automatiquement sa cause.
À toi de jouer !
Retrouve 8 exercices interactifs liés à cette leçon, avec vérification des réponses et corrigés détaillés.
La bonne routine pour retenir
Pas besoin de tout réussir du premier coup : reviens à la notion à plusieurs moments, sans relire immédiatement la correction.
- Maintenant : réponds à une pause mémoire sans regarder le cours.
- Après une pause : refais une question et explique les étapes à voix haute ou par écrit.
- Dans quelques jours : mélange cet exercice avec d’autres chapitres pour retrouver la bonne méthode.