Ce que tu vas savoir faire
Calculer une image, chercher des antécédents, lire une équation ou une inéquation sur une courbe, déterminer une droite et interpréter un taux de variation.
Appuis : calcul littéral et intervalles. Les contextes économiques ci-dessous sont fictifs.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
En clair : Une fonction est une machine : tu choisis x, elle calcule f(x). Pour retrouver x, il faut résoudre l’équation.
- Repère ce qu’on te demande : l’image d’un nombre ou un antécédent.
- Pour une image, remplace x dans la formule ; pour un antécédent, pose une équation.
- Vérifie le résultat en remplaçant x dans la formule de départ.
1. Définir un modèle par une fonction
Une fonction f associe à chaque nombre x de son ensemble de définition un unique nombre f(x). On écrit y = f(x) ou f : x ↦ f(x). Le nombre f(x) est l’image de x. Un nombre x tel que f(x) = k est un antécédent de k : il peut y en avoir aucun, un ou plusieurs.
Exemple : un tarif
Une location coûte 25 € de frais fixes puis 8 € par heure. Pour une durée réelle t entre 0 et 8 heures, on pose C(t) = 25 + 8t, avec C(t) en euros et t ∈ [0 ; 8].
C(3) = 25 + 8 × 3 = 49 : trois heures coûtent 49 €. Pour trouver la durée correspondant à 65 €, on résout 25 + 8t = 65, donc t = 5. Le résultat appartient bien à [0 ; 8].
Le domaine vient du contexte et de la formule : une durée ne sera pas négative ; un dénominateur ne peut pas être nul ; une racine carrée réelle demande un nombre positif ou nul. On définit toujours les unités avant de calculer.
2. Lire une courbe
La courbe de f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). Pour lire une image, partir de l’abscisse, rejoindre la courbe verticalement, puis lire l’ordonnée. Pour lire les antécédents de k, tracer mentalement la droite horizontale y = k et relever les abscisses des intersections.
Dans cet exemple, f(x) = 0 a pour solutions 1 et 3. Pour f(x) < 0, on cherche les points sous l’axe horizontal : x ∈ ]1 ; 3[. Pour f(x) ≥ 0 sur le domaine [0 ; 4], les solutions sont [0 ; 1] ∪ [3 ; 4]. Le signe de f indique sa position par rapport à l’axe ; il ne dit pas si la courbe monte ou descend.
Pour résoudre f(x) < k, on regarde la position de la courbe par rapport à la droite y = k. Pour comparer f(x) et g(x), on regarde quelle courbe est au-dessus de l’autre. Les bornes où il y a égalité sont exclues d’une inégalité stricte.
3. Droites et fonctions affines
Une fonction affine s’écrit f(x) = ax + b. Son graphique est une droite. a est le coefficient directeur et b = f(0) l’ordonnée à l’origine. Si b = 0, la fonction est linéaire : elle décrit une proportionnalité.
b = yA − axA
Déterminer puis tracer une droite
La droite passe par A(2 ; 7) et B(5 ; 16). Alors a = (16 − 7)/(5 − 2) = 3, puis b = 7 − 3 × 2 = 1. Son équation est y = 3x + 1.
Pour la tracer, placer (0 ; 1), puis avancer de 1 unité en x et monter de 3 unités en y. Pour lire a sur un graphique, utiliser deux points lisibles de la droite et les unités des axes, pas l’angle apparent à l’écran.
Si a > 0, la fonction est croissante ; si a < 0, elle est décroissante ; si a = 0, elle est constante. Une droite verticale x = c n’est pas la courbe d’une fonction de x et n’a pas d’équation réduite y = ax + b.
À ne pas confondre : image et antécédent
Dans f(2) = 7, on connaît le départ (2) et on calcule son image (7). Dans f(x) = 7, on connaît le résultat et on cherche le départ x. Le geste mathématique n’est pas le même.
PAUSE MÉMOIRE · JE ME SOUVIENS
Une image, c’est quoi ?
Si f(x) = 3x − 2, combien vaut f(2) ?
Voir le raisonnement et la réponse
f(2) = 3 × 2 − 2 = 4. On a calculé une image, sans résoudre d’équation.
Explorer une droite en déplaçant ses coefficients
Active JavaScript pour manipuler ce graphique. Les explications et exemples du cours restent accessibles.
4. Taux de variation et monotonie
Pour deux nombres distincts a et b du domaine, le taux de variation mesure la variation moyenne de f par unité de x :
C’est la pente de la sécante passant par (a ; f(a)) et (b ; f(b)). Son unité est « unité de f par unité de x ». Il ne faut pas le confondre avec un taux d’évolution en pourcentage, dont le dénominateur est la valeur initiale.
Une pente moyenne
Pour f(x) = x² entre 1 et 3 : T = (9 − 1)/(3 − 1) = 4. Entre 3 et 4 : T = (16 − 9)/(4 − 3) = 7. Contrairement à une fonction affine, la pente moyenne dépend de l’intervalle.
Une fonction est croissante sur un intervalle lorsque, pour tous a < b de cet intervalle, f(a) ≤ f(b). Cela revient à dire que tous ses taux de variation sont positifs ou nuls. Elle est décroissante si ces taux sont négatifs ou nuls. Un seul taux positif ne suffit pas à démontrer la croissance sur tout un intervalle.
5. Changer de grandeur et approcher une solution
Deux grandeurs peuvent être inversement proportionnelles : pour parcourir 240 km à vitesse constante v, la durée est t = 240/v, avec v > 0. Doubler v divise t par deux. Le graphique de t en fonction de v n’est pas une droite ; celui de t en fonction de 1/v en est une. De même, y = 3x² est linéaire en la grandeur x², mais pas en x. Lire précisément le nom de l’axe est essentiel.
Un balayage consiste à tester des valeurs séparées par un même pas. Ici, on cherche le nombre positif dont le carré vaut 2. Comme la fonction carré est croissante sur [1 ; 2], il suffit de comparer les carrés de valeurs voisines.
| x | x2 | Comparaison avec 2 |
|---|---|---|
| 1,40 | 1,9600 | < 2 |
| 1,41 | 1,9881 | < 2 |
| 1,42 | 2,0164 | > 2 |
On a donc encadré la solution positive de x2 = 2 au centième. Pour obtenir un encadrement plus précis, on recommence avec un pas de 0,001, puis éventuellement de 0,0001.
Pour encadrer √2 sans calculatrice, retiens la méthode : calculer des carrés simples, comparer à 2, puis conserver deux nombres qui encadrent la solution. Le tableau ci-dessus suffit à expliquer le raisonnement.
6. Application et bilan
Deux locations ont pour tarifs C(t) = 25 + 8t et D(t) = 13t. Cherche la durée à partir de laquelle C est au plus aussi chère que D.
Afficher le raisonnement corrigé
25 + 8t ≤ 13t ⇔ 25 ≤ 5t ⇔ t ≥ 5. Sur [0 ; 8], on retient [5 ; 8]. À 5 heures, les deux tarifs valent 65 €. Au-delà, la droite C est sous la droite D : les frais fixes sont compensés par le prix horaire plus faible.
PAUSE MÉMOIRE · J’APPLIQUE
Je comprends un encadrement
On sait que 1,41² < 2 < 1,42². Où se trouve la racine positive de x² = 2 ?
Voir le raisonnement et la réponse
Puisque la fonction carré est croissante sur les nombres positifs, 1,41 < √2 < 1,42. Ce n’est pas une égalité.
À retenir
Une image se calcule ; un antécédent se cherche en résolvant une équation. Une pente est un quotient de deux variations. Avant toute conclusion graphique, vérifier le domaine, les unités et le caractère strict ou large de l’inégalité.
Prêt à t’entraîner ?
Une série de 9 exercices corrigés reprend toutes les méthodes essentielles de ce chapitre.
La bonne routine pour retenir
Pas besoin de tout réussir du premier coup : reviens à la notion à plusieurs moments, sans relire immédiatement la correction.
- Maintenant : réponds à une pause mémoire sans regarder le cours.
- Après une pause : refais une question et explique les étapes à voix haute ou par écrit.
- Dans quelques jours : mélange cet exercice avec d’autres chapitres pour retrouver la bonne méthode.