Ce que tu vas savoir faire
Justifier un modèle binomial, construire les premières lignes du triangle de Pascal, calculer des probabilités exactes ou cumulées et interpréter l’espérance.
Appuis : répétitions de Bernoulli en Première, indépendance et variables aléatoires.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
- Identifie le succès et vérifie les hypothèses du modèle.
- Traduis « exactement », « au plus » ou « au moins » en événement sur X.
- Choisis une probabilité exacte, une somme ou l’événement contraire.
1. Reconnaître un schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès, de probabilité p, et échec, de probabilité 1−p. On répète cette épreuve n fois, de façon indépendante, avec la même probabilité de succès à chaque fois.
La variable X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p). Ses valeurs possibles sont les entiers de 0 à n.
Justifier avant de calculer
On teste cinq articles selon un modèle où chaque test a une probabilité 0,2 de signaler un défaut, indépendamment des autres. Le nombre de signaux suit B(5 ; 0,2).
Le modèle n’est pas automatique
Un tirage sans remise dans une petite population modifie les probabilités au fil des tirages. Il n’est pas exactement binomial. Une approximation éventuelle doit être justifiée par le contexte, pas supposée.
2. Compter les chemins avec Pascal
Le coefficient C(n,k), aussi noté « k parmi n », compte les chemins ayant exactement k succès parmi n essais. Tous ces chemins ont la même probabilité, car ils comportent les mêmes nombres de succès et d’échecs.
Le triangle de Pascal commence à la ligne n=0. Chaque ligne débute et finit par 1 ; un nombre intérieur est la somme des deux nombres situés au-dessus.
| Ligne n | Coefficients, de k=0 à k=n |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 ; 1 |
| 2 | 1 ; 2 ; 1 |
| 3 | 1 ; 3 ; 3 ; 1 |
| 4 | 1 ; 4 ; 6 ; 4 ; 1 |
| 5 | 1 ; 5 ; 10 ; 10 ; 5 ; 1 |
Ainsi C(5,2)=10. La symétrie donne C(n,k)=C(n,n−k). La somme d’une ligne vaut 2n, le nombre total de chemins succès/échec. On peut construire les lignes jusqu’à n=10 à la main ou avec le repère algorithmique, sans imposer une formule de factorielles comme préalable.
Pause mémoire · Compter les chemins
Combien de chemins ont exactement deux succès en quatre essais ?
Voir le raisonnement et la réponse
Les deux places des succès se choisissent de six façons. C(4,2)=6.
3. Calculer une probabilité exacte
Le produit pk(1−p)n−k est la probabilité d’un seul chemin. Le coefficient compte les chemins compatibles avec l’événement.
Deux succès sur cinq
Avec X suivant B(5 ; 0,2), P(X=2)=10×0,2²×0,8³=0,2048. Oublier le coefficient 10 ne compterait qu’une disposition particulière des deux succès.
Pour p=0, X vaut toujours 0. Pour p=1, X vaut toujours n. Ces cas se comprennent directement, sans manipuler une écriture ambiguë de type 0⁰.
4. Connaître les événements simples
P(X=1)=np(1−p)n−1.
P(X=n−1)=npn−1(1−p).
Pour aucun succès ou tous les succès, il n’y a qu’un chemin. Pour exactement un succès, il y a n places possibles. Pour exactement un échec, le raisonnement est le même.
« Au moins un succès » est le contraire de « aucun succès » : P(X≥1)=1−(1−p)n. Pour B(5 ; 0,2), cela vaut 1−0,8⁵=0,67232.
5. Calculer une probabilité cumulée
« Au plus k » signifie X≤k : on additionne les probabilités des valeurs de 0 à k. « Au moins k » signifie X≥k : son contraire est X≤k−1.
P(X≥k)=1−P(X≤k−1).
Les bornes font la différence
Pour X suivant B(5 ; 0,2), P(X≤2)=0,32768+0,4096+0,2048=0,94208. En revanche, P(X≥2)=1−P(X≤1)=0,26272.
Pour un intervalle entier a≤X≤b, on utilise P(X≤b)−P(X≤a−1). Sur une calculatrice, vérifie si la commande fournit une probabilité exacte ou une probabilité cumulée, et quelles bornes elle inclut. Les noms des commandes varient selon les modèles.
Pause mémoire · Le contraire d’un seuil
Quel est le contraire de X≥3 ?
Voir le raisonnement et la réponse
Le contraire est X<3. Puisque X prend des valeurs entières, cela équivaut à X≤2.
6. Interpréter l’espérance
Pour B(5 ; 0,2), l’espérance vaut 1. Cela ne signifie pas qu’il y aura un succès à chaque série de cinq essais. Il s’agit du nombre moyen de succès que le modèle prévoit sur un grand nombre de séries.
Une espérance peut ne pas être entière : pour B(5 ; 0,3), E(X)=1,5, alors qu’une réalisation de X ne peut jamais valoir 1,5. Le chapitre suivant compare ce nombre théorique aux observations simulées.
7. Vérifier sa compréhension
X suit B(4 ; 0,5). Calcule P(X=2), P(X≥1) et E(X).
Afficher la correction
P(X=2)=6×0,5²×0,5²=6/16=0,375. P(X≥1)=1−0,5⁴=15/16=0,9375. E(X)=4×0,5=2.
À retenir
Justifier n, p et l’indépendance. Traduire précisément l’événement avant le calcul. Un coefficient compte les chemins ; une probabilité cumulée additionne des événements incompatibles.
La bonne routine pour retenir
Reconstruis demain les cinq premières lignes de Pascal. Plus tard, explique pourquoi « au moins deux » n’est pas le contraire de « au plus deux ».