Ce que tu vas savoir faire
Lire une probabilité conditionnelle dans un tableau ou un arbre, utiliser une partition à deux ou trois événements, justifier la formule des probabilités totales et inverser une condition.
Appui : conditionnement et indépendance en Première. Les rappels sont conservés pour la cohorte de Terminale qui a suivi le programme de Première 2019.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
- Écris en mots l’événement recherché et l’information connue.
- Construis le tableau ou l’arbre en vérifiant les totaux.
- Calcule les intersections avant de réunir les chemins ou de changer la condition.
1. Conditionner, c’est changer de référence
PA(B) signifie « probabilité de B sachant A ». On se restreint aux issues de A. La notation P(B|A) désigne la même quantité.
Trois questions différentes
Parmi 100 clients, 40 sont abonnés (A) et 30 sont satisfaits (B). Dix sont à la fois abonnés et satisfaits. P(A∩B)=10/100=0,1 ; PA(B)=10/40=0,25 ; PB(A)=10/30=1/3.
Le numérateur reste 10 dans les trois fractions, mais la population de référence change. Une condition ne se retourne donc pas sans recalcul.
2. Lire un arbre pondéré
Les probabilités des branches issues d’un même nœud totalisent 1. Une branche de deuxième niveau porte une probabilité conditionnelle, pas nécessairement une probabilité calculée sur toute la population.
On multiplie les probabilités le long d’un chemin. Si P(A)=0,6 et PA(B)=0,2, le chemin A puis B a pour probabilité 0,12. L’événement contraire de A a pour probabilité 0,4 ; celui de B sachant A a pour probabilité 0,8.
Pause mémoire · Un chemin
Un chemin porte successivement 0,6 et 0,2. Quelle est sa probabilité ?
Voir le raisonnement et la réponse
On multiplie le long du chemin : 0,6×0,2=0,12. L’addition sert à réunir des chemins incompatibles.
3. Réunir une partition en deux groupes
A et son contraire non A sont incompatibles et recouvrent toutes les issues. Ils forment une partition de l’univers.
Pourquoi ? B est la réunion des événements A∩B et non A∩B. Ils sont incompatibles, donc leurs probabilités s’additionnent. On exprime ensuite chaque intersection par le produit correspondant à son chemin.
Deux ateliers de production
L’atelier A produit 60 % des articles avec 2 % de défauts. L’autre produit 40 % des articles avec 5 % de défauts. La probabilité d’un défaut D est 0,6×0,02+0,4×0,05=0,032, soit 3,2 %.
La moyenne simple de 2 % et 5 % donnerait 3,5 % : elle serait incorrecte, car les deux ateliers n’ont pas le même poids.
4. Généraliser à trois groupes
Si A, B et C sont incompatibles deux à deux et recouvrent l’univers, ils forment une partition. Avec des groupes de probabilité positive :
Avec des poids 0,2 ; 0,3 ; 0,5 et des taux de défauts 0,01 ; 0,02 ; 0,04, on obtient P(D)=0,002+0,006+0,020=0,028. Le total est bien une moyenne pondérée des trois taux.
Vérifier la partition
Si les groupes se recouvrent ou si certaines issues n’appartiennent à aucun groupe, on ne peut pas appliquer directement cette somme : on risquerait de compter deux fois ou d’oublier des issues.
5. Inverser une condition
Reprenons les deux ateliers. On sait maintenant que l’article est défectueux. Quelle est la probabilité qu’il vienne de A ? La nouvelle population est celle des articles défectueux.
La réponse est 37,5 %, et non 2 %. Le taux de défauts chez A et la part de A parmi les défauts répondent à des questions différentes. La probabilité totale est souvent l’étape nécessaire avant cette inversion.
6. Reconnaître l’indépendance
Lorsque P(A)>0, cela équivaut à PA(B)=P(B) : apprendre A ne modifie pas la probabilité de B. L’indépendance est symétrique.
Pour P(A)=0,5, P(B)=0,4 et P(A∩B)=0,2, le produit vaut 0,2 : les événements sont indépendants. Si l’intersection valait 0,1, ils ne le seraient pas.
Indépendants n’est pas incompatibles
Deux événements incompatibles ne peuvent pas arriver ensemble. Si leurs probabilités sont toutes deux positives, leur intersection nulle n’est pas égale au produit : ils ne sont pas indépendants.
Pause mémoire · Justifier, pas deviner
P(A)=0,3, P(B)=0,4 et P(A∩B)=0,12. Quelle conclusion est correcte ?
Voir le raisonnement et la réponse
Le produit 0,3×0,4=0,12 est égal à l’intersection. Celle-ci n’est pas nulle, donc les événements ne sont pas incompatibles.
7. Vérifier sa compréhension
Un contrôle fictif signale 90 % des articles défectueux et 10 % des autres. Les défauts concernent 2 % de la production. Calcule la probabilité d’un signal S, puis celle d’un défaut D sachant S.
Afficher la correction
P(S)=0,02×0,9+0,98×0,1=0,116. PS(D)=0,018/0,116≈0,155, soit environ 15,5 %. Un bon taux de détection ne suffit pas à déterminer la proportion de vrais défauts parmi les signaux : la fréquence initiale des défauts compte aussi.
À retenir
Nommer la condition, multiplier les branches, additionner les chemins incompatibles et vérifier les dénominateurs. Tout résultat doit rester entre 0 et 1.
La bonne routine pour retenir
Demain, explique avec tes mots pourquoi PA(B) et PB(A) diffèrent. Plus tard, reconstruis la formule des probabilités totales à partir des intersections.