Ce que tu vas savoir faire
Lire un nuage, calculer son point moyen, utiliser une droite d’ajustement et transformer un modèle non affine grâce à une nouvelle variable.
Selon ta cohorte : les bases de l’ajustement affine sont au programme de Terminale 2019 et déjà abordées en Première 2026. Le rappel ci-dessous permet de suivre dans les deux cas. Voir aussi le cours de Première.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
- Identifie les variables, les unités et les couples d’observations.
- Observe le nuage et effectue le changement de variable proposé.
- Utilise le modèle, puis reviens aux variables initiales et discute ses limites.
1. Deux variables, des couples à préserver
Une série à deux variables quantitatives contient des couples (x ; y). Chaque ordonnée doit rester associée à son abscisse : trier séparément les deux colonnes détruirait les observations.
Le nuage place chaque couple dans un repère. Avant tout calcul, regarde sa forme : alignement approximatif, courbure, groupes distincts ou point atypique. Une droite n’est pas toujours un modèle pertinent.
Quatre observations fictives
Les couples (1 ; 12), (2 ; 15), (3 ; 19), (4 ; 22) peuvent représenter un budget en centaines d’euros et des ventes en dizaines d’articles. Il faut garder ces unités pour interpréter le résultat.
2. Calculer le point moyen
Pour les quatre observations, x̄=2,5 et ȳ=17. Ainsi G(2,5 ; 17) décrit un budget moyen de 250 euros et des ventes moyennes de 170 articles. Ce point ne correspond pas nécessairement à une observation réelle.
Le point moyen résume le centre du nuage. À lui seul, il ne prouve pas qu’une droite convient.
Pause mémoire · Deux colonnes
Quel est le point moyen de (1 ; 6) et (3 ; 10) ?
Voir le raisonnement et la réponse
G((1+3)/2 ; (6+10)/2)=G(2 ; 8).
3. Utiliser un ajustement affine
Un ajustement affine propose des valeurs estimées ŷ=ax+b. Une droite au jugé suit visuellement la direction générale du nuage. La méthode de Mayer partage les observations ordonnées en deux groupes, puis relie leurs points moyens ; la règle de partage doit être précisée.
Pour l’exemple, les points moyens des deux moitiés sont G₁(1,5 ; 13,5) et G₂(3,5 ; 20,5). La pente vaut (20,5−13,5)/(3,5−1,5)=3,5, d’où ŷ=3,5x+8,25.
La méthode des moindres carrés choisit les coefficients qui minimisent la somme des carrés des écarts verticaux entre observations et modèle. La calculatrice ou le tableur peuvent fournir ces coefficients ; la théorie de leur calcul n’est pas un préalable attendu.
Comparer deux modèles proposés
Pour les mêmes données, la droite ŷ=3,4x+8,5 donne les écarts 0,1 ; −0,3 ; 0,3 ; −0,1, dont la somme des carrés vaut 0,20. La droite de Mayer donne 0,25. Ce calcul illustre le critère ; il ne remplace pas l’observation du nuage.
4. Interpoler ou extrapoler
Une interpolation utilise une abscisse dans la plage observée. Pour x=2,5, le modèle ŷ=3,4x+8,5 prévoit 17, soit 170 articles. Une extrapolation utilise une abscisse en dehors : x=6 donne 28,9, soit 289 articles.
Une extrapolation est particulièrement fragile, car la tendance peut ne pas se prolonger. Même une interpolation reste une estimation, pas une certitude. Une association entre deux variables ne démontre pas un lien de cause à effet.
5. Transformer l’abscisse
Si le nuage présente une courbure, l’énoncé peut proposer une nouvelle variable z. On ajuste alors y en fonction de z, avant de remplacer z par son expression initiale.
Avec z=x²
Si l’ajustement dans les variables (z ; y) est y=2z+3, le modèle initial est y=2x²+3. Pour x=4, z=16 puis y=35. Ce n’est pas une droite dans le repère initial.
De même, z=1/t transforme y=az+b en y=a/t+b, avec t≠0. Le changement z=1/√n exige n>0. Les restrictions de domaine et les unités doivent suivre le changement de variable.
6. Transformer l’ordonnée avec le logarithme
Pour y>0, on peut poser z=log(y). Si les couples (x ; z) s’ajustent par z=ax+b, alors on revient à y grâce à la puissance de dix.
Retrouver un modèle exponentiel
Si log(y)=0,2x+1, alors y=10×(100,2)x. Pour x=3, y=101,6≈39,811. Le coefficient multiplicateur par unité de x vaut 100,2≈1,585, et non 0,2.
Revenir dans les bonnes unités
Le modèle ajusté fournit d’abord log(y). Une valeur de 1,6 pour log(y) ne signifie pas y=1,6 ni y=16.
Pause mémoire · Revenir à y
Si log(y)=2, combien vaut y ?
Voir le raisonnement et la réponse
Le retour est y=102=100.
7. Vérifier sa compréhension
On pose z=1/t, avec t>0, et l’on propose y=12z+4. Écris le modèle en t et estime y pour t=3. Les observations ont été faites pour t entre 1 et 5.
Afficher la correction
Le modèle est y=12/t+4. Pour t=3, y=8. C’est une interpolation car 3 est dans [1 ; 5]. Le modèle reste approximatif même si le calcul algébrique est exact.
Activité numérique : dans un tableur, trace le nuage initial, ajoute la colonne transformée et compare les représentations. Le jeu de données Insee du site permet aussi de discuter une tendance temporelle réelle.
À retenir
Observer avant d’ajuster. Préserver les couples, expliciter la transformation et revenir aux grandeurs du problème. Un bon ajustement passé ne garantit pas une prévision future.
La bonne routine pour retenir
Demain, transforme une droite en un modèle avec x² ou log(y). Quelques jours plus tard, explique la différence entre interpolation et extrapolation sans regarder le cours.