Ce que tu vas savoir faire
Reconnaître la courbe de 1/x, interpréter ses asymptotes, dériver une somme de termes polynomiaux et inverses, puis étudier ses variations.
Appuis : nombre dérivé et tangente, dérivées et variations et signe d’un produit.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
- Écris le domaine : les dénominateurs doivent être non nuls.
- Dérive et étudie le signe, éventuellement après mise au même dénominateur.
- Traduis le signe en variations et contrôle les bornes du domaine.
1. Définition et domaine de la fonction inverse
La fonction inverse associe à un réel non nul son inverse multiplicatif : x×f(x)=1. Elle ne doit pas être confondue avec l’opposé −x. Ses images sont positives pour x>0 et négatives pour x<0.
Des valeurs qui se répondent
f(2)=0,5 ; f(4)=0,25 ; f(−2)=−0,5. Doubler une valeur positive de x divise son image par deux. La relation f(−x)=−f(x) explique la symétrie de la courbe par rapport à l’origine.
Sa courbe, une hyperbole, comporte deux branches séparées. On ne doit jamais les relier à travers x=0.
2. Comprendre les asymptotes
Quand x devient très grand en valeur absolue, 1/x se rapproche de zéro : 1/1000=0,001. La droite y=0 est une asymptote horizontale.
Quand x positif se rapproche de zéro, 1/x devient très grand : 1/0,001=1000. Du côté négatif, les valeurs deviennent très négatives. La droite x=0 est une asymptote verticale.
Pour g(x)=5+3/x, avec x≠0, l’asymptote verticale reste x=0 et l’horizontale devient y=5. Ces observations se comprennent par les valeurs et les graphiques ; elles ne constituent pas un cours de calcul formel des limites.
Ne pas inventer une valeur en zéro
Une asymptote n’est pas une valeur de la fonction. On n’écrit pas f(0)=∞ : f(0) n’existe pas.
Pause mémoire · Le domaine compte
Quelle valeur est interdite pour f(x)=1/x ?
Voir le raisonnement et la réponse
On ne peut pas diviser 1 par 0. Les nombres −1 et 1 appartiennent bien au domaine.
3. Dériver la fonction inverse
Comme x²>0 sur le domaine, la dérivée est négative. La fonction inverse est donc strictement décroissante sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[.
Il faut préciser ces deux intervalles : on ne peut pas déclarer la fonction décroissante « à travers » la valeur interdite. Par exemple −1<1, mais f(−1)=−1<f(1)=1.
Pour une constante k, (k/x)′=−k/x². Avec f(x)=2x³−4x+7+6/x, on obtient f′(x)=6x²−4−6/x². La constante 7 disparaît lors de la dérivation.
4. Écrire une équation de tangente
Une tangente à f(x)=4/x
En a=2, f(2)=2 et f′(2)=−4/2²=−1. La tangente est y=2−(x−2), soit y=−x+4. Elle passe bien par (2 ; 2).
Le coefficient directeur donne une approximation locale de l’évolution. La tangente n’est pas la courbe entière et peut donner une estimation médiocre loin du point de contact.
5. Optimiser un coût moyen
Dans un modèle économique fictif, pour x>0, le coût moyen est C(x)=x+16/x+5. La variable x est supposée continue pendant l’étude.
Sur x>0, x² et x+4 sont positifs. Le signe de C′ est donc celui de x−4 : négatif avant 4, nul en 4, positif après 4.
| x | ]0 ; 4[ | 4 | ]4 ; +∞[ |
|---|---|---|---|
| C′(x) | − | 0 | + |
| C | Décroît | Minimum 13 | Croît |
Le minimum vaut C(4)=4+4+5=13. Si le contexte impose x dans [1 ; 3], le point 4 est interdit : C décroît sur cet intervalle et son minimum y est atteint en x=3. Il faut donc toujours tenir compte du domaine réel du problème.
Pause mémoire · Lire les signes
Si f′ passe de négatif à positif en a, que peut-on conclure pour f ?
Voir le raisonnement et la réponse
La fonction descend avant a et remonte après : sa valeur en a est un minimum local.
6. Vérifier sa compréhension
Pour x>0, étudie f(x)=x+9/x+2. Cherche le minimum, puis celui de la restriction à [4 ; 8].
Afficher la correction
f′(x)=1−9/x²=(x−3)(x+3)/x². Le signe est celui de x−3. Le minimum sur ]0 ; +∞[ est f(3)=8. Sur [4 ; 8], f est croissante, donc le minimum est f(4)=4+9/4+2=8,25.
À retenir
Le domaine précède le calcul. Une dérivée nulle ne suffit pas à conclure : c’est son changement de signe qui donne un extremum. Pour une quantité entière, comparer les valeurs entières pertinentes autour de l’optimum continu.
La bonne routine pour retenir
Retrouve demain la dérivée de 1/x et explique pourquoi ses branches se traitent séparément. Reprends ensuite un minimum sur deux domaines différents.