Ce que tu vas savoir faire
Associer une expression à sa courbe, vérifier une racine, factoriser un cas simple, dresser un tableau de signes et trouver un extremum par symétrie.
Appuis : fonctions et graphiques, développement et produit nul.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
En clair : Une parabole décrit la courbe d’une expression ax² + bx + c. Les racines disent où elle rencontre l’axe horizontal.
- Cherche si l’expression est factorisée : chaque facteur nul fournit une racine.
- Observe le signe de a pour savoir si la parabole monte ou descend de part et d’autre du sommet.
- Pour le sommet, cherche le milieu des racines quand tu les connais, puis calcule l’image.
1. Reconnaître un polynôme de degré 2
Un polynôme du second degré s’écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. Sa courbe est une parabole. Si a > 0, elle est ouverte vers le haut et possède un minimum. Si a < 0, elle est ouverte vers le bas et possède un maximum. Le signe de a ne signifie pas que toutes les valeurs de f sont positives ou négatives.
| Expression | Axe de symétrie | Sommet |
|---|---|---|
| ax² | x = 0 | (0 ; 0) |
| ax² + c | x = 0 | (0 ; c) |
| a(x − r)(x − s) | x = (r + s)/2 | Calculer l’image du milieu de r et s |
Les deux premières lignes se comprennent avec la fonction carré : x et −x ont le même carré. Pour f(x) = −2x² + 5, l’axe est x = 0 et le maximum vaut 5, atteint pour x = 0. Les points (1 ; 3) et (−1 ; 3) sont symétriques.
2. Racines et factorisation
Une racine de f est un nombre r tel que f(r) = 0. Graphiquement, elle est l’abscisse d’un point où la parabole rencontre l’axe horizontal. Une parabole peut ne pas couper cet axe, le toucher en un point ou le couper en deux points.
Vérifier une racine et retrouver une factorisation
Soit f(x) = 2x² − 10x + 8. On conjecture que 1 est racine : f(1) = 2 − 10 + 8 = 0, donc la conjecture est vérifiée.
On cherche alors une écriture (x − 1)(2x + d). En développant, on obtient 2x² + (d − 2)x − d. Le terme constant impose −d = 8, donc d = −8. Le coefficient de x vaut bien −10.
Ainsi f(x) = 2(x − 1)(x − 4). La règle du produit nul donne f(x) = 0 ⇔ x = 1 ou x = 4.
On vérifie toujours une factorisation en la redéveloppant. Une autre méthode consiste à reconnaître un facteur commun ou une identité remarquable : x² − 9 = (x − 3)(x + 3), tandis que x² − 6x + 9 = (x − 3)².
Périmètre du programme
Le calcul systématique des racines par le discriminant n’est pas au programme de première technologique 2026. On utilise les racines évidentes ou données, les formes factorisées, les graphiques et, au besoin, un outil numérique. Une équation sans solution réelle, comme x² + 1 = 0, ne doit pas être forcée dans une factorisation réelle.
3. Étudier le signe d’une forme factorisée
Pour f(x) = a(x − r)(x − s), avec r < s, chaque facteur change de signe à sa racine. On multiplie les signes, y compris celui de a. Le polynôme a le signe de a à l’extérieur des deux racines et le signe opposé entre elles.
| x | ]−∞ ; 1[ | 1 | ]1 ; 4[ | 4 | ]4 ; +∞[ |
|---|---|---|---|---|---|
| x − 1 | − | 0 | + | + | + |
| x − 4 | − | − | − | 0 | + |
| f(x) | + | 0 | − | 0 | + |
Donc f(x) ≤ 0 exactement sur [1 ; 4]. Pour f(x) > 0, les solutions sont ]−∞ ; 1[ ∪ ]4 ; +∞[. Dans un problème concret, on intersecte ce résultat avec le domaine de l’étude.
Cas d’une racine double : a(x − r)² garde le signe de a des deux côtés de r et s’annule en r. Il n’y a pas de changement de signe. Par exemple, (x − 3)² ≥ 0 pour tout x.
PAUSE MÉMOIRE · JE ME SOUVIENS
Trouver les deux racines
Quelles sont les racines de f(x) = (x − 2)(x + 4) ?
Voir le raisonnement et la réponse
x − 2 = 0 donne 2 ; x + 4 = 0 donne −4. Les deux racines sont −4 et 2.
4. Trouver l’axe et le sommet
Deux points d’une parabole de même ordonnée sont symétriques par rapport à son axe. L’abscisse du sommet est donc le milieu de leurs abscisses. Une fois cette abscisse trouvée, on la remplace dans f pour calculer l’ordonnée du sommet.
À partir des racines
Pour f(x) = 2(x − 1)(x − 4), les points (1 ; 0) et (4 ; 0) sont à la même hauteur. L’axe est x = (1 + 4)/2 = 2,5. Ensuite f(2,5) = 2 × 1,5 × (−1,5) = −4,5.
Le sommet est S(2,5 ; −4,5). Comme a = 2 > 0, f décroît jusqu’à 2,5 puis croît. Son minimum est −4,5, atteint pour x = 2,5.
À partir d’une forme développée
Pour g(x) = x² − 6x + 5, on sait g(0) = 5. Cherchons l’autre point de même hauteur : g(x) = 5 ⇔ x² − 6x = 0 ⇔ x(x − 6) = 0. Les abscisses 0 et 6 donnent l’axe x = 3 ; g(3) = −4. Le sommet est donc (3 ; −4).
Si le terme en x est nul, l’axe est directement x = 0 ; inutile de chercher un deuxième point distinct par cette méthode.
| Intervalle | ]−∞ ; 3] | [3 ; +∞[ |
|---|---|---|
| Sens de variation | Décroissante ↘ | Croissante ↗ |
| Valeur au sommet | g(3) = −4, minimum | |
L’axe x = 3 est une droite ; le sommet (3 ; −4) est un point ; −4 est une valeur de la fonction. Ces trois réponses ne sont pas interchangeables.
Comprendre une parabole en déplaçant son sommet
Active JavaScript pour manipuler ce graphique. Les explications et exemples du cours restent accessibles.
5. Modéliser un bénéfice
Une entreprise fictive modélise son bénéfice, en centaines d’euros, pour x dizaines d’articles, par B(x) = −2(x − 1)(x − 5), sur [0 ; 6].
Résolution complète
Rentabilité. Les racines sont 1 et 5. Comme a = −2, B est positif entre les racines : B(x) > 0 pour 1 < x < 5. L’activité est bénéficiaire pour une production strictement comprise entre 10 et 50 articles, dans le modèle.
Meilleure production. Le milieu des racines est 3. B(3) = −2 × 2 × (−2) = 8. Le bénéfice maximal est 800 €, pour 30 articles. On a bien 3 ∈ [0 ; 6]. Les valeurs aux bornes sont B(0) = B(6) = −10.
Si la variable doit être entière, on ne retient que les valeurs entières compatibles avec le contexte. Pour une autre fonction dont le sommet ne correspond pas à un entier, on compare les deux entiers voisins admissibles.
6. Vérifier sa compréhension
Étudie h(x) = −(x + 2)(x − 4) : racines, signe, axe, sommet, variations.
Afficher la correction
Les racines sont −2 et 4. Le coefficient dominant est −1 : h est négative sur ]−∞ ; −2[ et ]4 ; +∞[, positive sur ]−2 ; 4[, nulle aux racines. L’axe est x = (−2 + 4)/2 = 1. h(1) = −3 × (−3) = 9 : le sommet est (1 ; 9), et 9 est le maximum. La fonction croît jusqu’à 1 puis décroît.
PAUSE MÉMOIRE · J’APPLIQUE
Reconnaître un maximum
Quelle est la valeur maximale de g(x) = −(x − 3)² + 9 ?
Voir le raisonnement et la réponse
−(x − 3)² ≤ 0, donc g(x) ≤ 9. Le maximum vaut 9 lorsque x = 3.
À retenir
La forme factorisée révèle les racines et le signe. La symétrie révèle le sommet. Le signe du coefficient de x² donne l’orientation de la parabole, pas le signe de toutes ses images.
À toi de jouer !
Retrouve 8 exercices interactifs liés à cette leçon, avec vérification des réponses et corrigés détaillés.
La bonne routine pour retenir
Pas besoin de tout réussir du premier coup : reviens à la notion à plusieurs moments, sans relire immédiatement la correction.
- Maintenant : réponds à une pause mémoire sans regarder le cours.
- Après une pause : refais une question et explique les étapes à voix haute ou par écrit.
- Dans quelques jours : mélange cet exercice avec d’autres chapitres pour retrouver la bonne méthode.