Ce que tu vas savoir faire
Interpréter le nombre dérivé comme pente, comprendre le rapprochement des sécantes, lire une tangente et déterminer son équation.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
En clair : Le nombre dérivé est une pente instantanée : celle de la tangente à la courbe en un point donné.
- Identifie le point de tangence : son abscisse a et son ordonnée f(a).
- Trouve la pente f′(a), par calcul ou lecture de la tangente.
- Écris la tangente sous la forme y = f′(a)(x − a) + f(a), puis vérifie le point.
1. Une sécante entre deux points
On fixe un point A(a ; f(a)) sur la courbe. Un deuxième point B a pour abscisse a + h, avec h ≠ 0. La droite AB est une sécante. Sa pente est le taux de variation entre a et a + h :
La lettre h représente l’écart entre les abscisses. Elle peut être positive, si B est à droite de A, ou négative, si B est à gauche. Le quotient n’est pas défini pour h = 0 : il ne faut donc jamais remplacer h par zéro dans ce quotient avant simplification.
Exemple sur la fonction carré
Prenons f(x) = x² et a = 2. Alors f(2) = 4 et :
En rapprochant B de A, les pentes se rapprochent de 4 des deux côtés.
| h | −0,1 | −0,01 | 0,01 | 0,1 |
|---|---|---|---|---|
| 4 + h | 3,9 | 3,99 | 4,01 | 4,1 |
2. Nombre dérivé et position limite
Lorsque les pentes des sécantes tendent vers un même nombre réel quand h se rapproche de zéro, ce nombre est le nombre dérivé de f en a. On le note f′(a) et on dit que f est dérivable en a.
Cette écriture signifie que le quotient se rapproche de f′(a) lorsque h devient très petit sans être nul. En première technologique, on en garde une compréhension intuitive, sans définition formelle des limites.
La droite obtenue comme position limite des sécantes est la tangente à la courbe en A. Le nombre dérivé est son coefficient directeur. Dans l’exemple précédent, f′(2) = 4.
La tangente n’est pas « une droite qui ne coupe jamais la courbe »
La tangente traduit le comportement local de la courbe près d’un point. Elle peut rencontrer la courbe ailleurs, et même la traverser au point de tangence. Pour f(x) = x³, la tangente en 0 est l’axe horizontal et la courbe le traverse.
Un angle pointu peut empêcher l’existence du nombre dérivé. Pour f(x) = |x| en 0, les pentes valent −1 à gauche et 1 à droite : il n’existe pas de pente limite unique. Cet exemple sert à comprendre la définition ; les fonctions polynômes étudiées ensuite sont dérivables.
3. Lire et construire une tangente
Si la tangente est dessinée, choisir deux points bien lisibles sur cette droite, puis calculer le coefficient directeur. Les points choisis n’ont pas besoin d’appartenir tous deux à la courbe.
Lecture de pente
La tangente au point A(2 ; 4) passe aussi par P(1 ; 0) et Q(3 ; 8). Sa pente est (8 − 0)/(3 − 1) = 4. On lit donc f′(2) = 4. L’ordonnée f(2) = 4 est ici numériquement égale à la pente, mais ce sont deux notions différentes.
Si on connaît le point A et f′(a) = 3/2, on peut construire un second point de la tangente en avançant de 2 unités horizontalement puis de 3 unités verticalement. Pour une pente négative, on descend lorsqu’on avance vers la droite.
Une tangente horizontale a une pente nulle. Une pente positive correspond à une tangente qui monte ; une pente négative à une tangente qui descend. Il faut utiliser les graduations : la pente n’est pas l’angle visuel du dessin, qui dépend des échelles.
PAUSE MÉMOIRE · JE ME SOUVIENS
Calculer une pente instantanée
Pour f(x) = x², combien vaut f′(3) ?
Voir le raisonnement et la réponse
f′(x) = 2x, donc f′(3) = 2 × 3 = 6. C’est la pente de la tangente à x = 3.
Observer une tangente se déplacer
Active JavaScript pour manipuler ce graphique. Les explications et exemples du cours restent accessibles.
4. Équation de la tangente
La tangente en a possède la pente f′(a) et passe par (a ; f(a)). Une équation est donc :
Pour obtenir la forme réduite y = mx + b, développer le membre de droite. Le point de tangence doit vérifier l’équation : c’est un contrôle rapide.
Méthode en quatre étapes
Pour f(x) = x², au point d’abscisse a = 2 :
- Calculer l’ordonnée : f(2) = 4.
- Déterminer la pente : f′(2) = 4.
- Écrire y = 4(x − 2) + 4.
- Réduire : y = 4x − 4. À x = 2, on retrouve y = 4.
Avec une pente négative donnée
On sait g(3) = 7 et g′(3) = −2. La tangente a pour équation y = −2(x − 3) + 7 = −2x + 13. Ce n’est pas y = −2x + 7 : l’ordonnée du point de tangence n’est pas nécessairement l’ordonnée à l’origine.
5. Interpréter dans une situation
Si une position d(t) est mesurée en mètres et le temps t en secondes, [d(b) − d(a)]/(b − a) est la vitesse moyenne entre a et b. Le nombre d′(a), lorsqu’il existe, représente la vitesse instantanée à l’instant a, en mètres par seconde.
Vitesse moyenne et vitesse instantanée
Dans le modèle d(t) = t², la vitesse moyenne entre 2 et 3 secondes vaut (9 − 4)/(3 − 2) = 5 m/s. La vitesse instantanée à 2 secondes vaut d′(2) = 4 m/s. La différence vient du fait que le mouvement accélère pendant l’intervalle.
La tangente donne aussi une approximation locale : pour un petit h, f(a + h) ≈ f(a) + hf′(a). Pour x² près de 2, f(2,01) ≈ 4 + 0,01 × 4 = 4,04, alors que la valeur exacte vaut 4,0401. Cette approximation devient moins pertinente si on s’éloigne du point.
En économie, la dérivée d’une fonction de coût aide à estimer le coût d’une petite augmentation de production. Ce lien sera développé dans le cours dérivées et optimisation.
6. Observer numériquement et se tester
Pour f(x) = x² au point d’abscisse 2, la pente de la sécante vaut :
| h | 4 + h |
|---|---|
| 0,1 | 4,1 |
| 0,01 | 4,01 |
| −0,01 | 3,99 |
| −0,1 | 3,9 |
À mesure que h se rapproche de 0, la pente se rapproche de 4. Le calcul exact 4 + h permet de le comprendre sans programme et sans calculatrice.
On sait f(−1) = 5 et f′(−1) = 0. Quelle est la tangente ? Et pour g(2) = 3, g′(2) = 5 ?
Afficher la correction
La première tangente est horizontale : y = 0(x + 1) + 5, donc y = 5. La seconde vaut y = 5(x − 2) + 3, donc y = 5x − 7. Dans les deux cas, remplacer x par l’abscisse du point permet de vérifier l’ordonnée.
PAUSE MÉMOIRE · J’APPLIQUE
Retrouver une tangente
Pour f(x) = x² au point d’abscisse 1, quelle équation décrit la tangente ?
Voir le raisonnement et la réponse
y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1. La droite passe bien par (1 ; 1).
À retenir
f(a) est une hauteur ; f′(a) est une pente. Le taux de variation concerne deux points ; le nombre dérivé concerne le comportement près d’un point. Une tangente se détermine avec un point et une pente.
À toi de jouer !
Retrouve 8 exercices interactifs liés à cette leçon, avec vérification des réponses et corrigés détaillés.
La bonne routine pour retenir
Pas besoin de tout réussir du premier coup : reviens à la notion à plusieurs moments, sans relire immédiatement la correction.
- Maintenant : réponds à une pause mémoire sans regarder le cours.
- Après une pause : refais une question et explique les étapes à voix haute ou par écrit.
- Dans quelques jours : mélange cet exercice avec d’autres chapitres pour retrouver la bonne méthode.