maths.

RAISONNER · MODÉLISER · COMMUNIQUER

Des problèmes à rédiger.

Travaille d’abord sur feuille, puis compare ta démarche au corrigé. Une erreur expliquée apporte plus qu’un nombre recopié.

Six activités de Première puis deux prolongements de Terminale, clairement séparés. Chaque activité propose un barème d’entraînement sur 4 points : 1 par question, avec 0,5 point de clarté de la rédaction compris dans la dernière question. Il ne s’agit pas d’une notation automatique.

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Première STMG

PREMIERE · ACTIVITÉ 1

Deux taux ne s’annulent pas

Objectif : Réfuter une erreur et expliquer les bases de calcul.

Un prix initial de 200 euros augmente de 20 %, puis baisse de 20 %. Maya conclut : « On retrouve 200 euros, car +20 - 20 = 0. »

  1. Calculer le prix après la hausse, puis après la baisse.
  2. Calculer le taux global en %.
  3. Expliquer précisément l’erreur de Maya.
  4. Quel taux faudrait-il appliquer après la hausse pour retrouver le prix initial ?
Comparer avec le corrigé et le barème
  1. Après hausse : 200 × 1,2 = 240. Après baisse : 240 × 0,8 = 192 euros. (1 point)
  2. (192 - 200)/200 = -0,04, soit -4 %. (1 point)
  3. Les deux taux ne portent pas sur la même valeur : la baisse retire 48 euros alors que la hausse en avait ajouté 40. Le coefficient global est 1,2 × 0,8 = 0,96. (1 point)
  4. Le coefficient de retour est 200/240 = 5/6 ; le taux est -1/6, soit -50/3 %. Une valeur décimale approchée ne doit pas remplacer cette valeur exacte sans consigne. (0,5 point pour le contenu + 0,5 pour une rédaction intelligible)

Accepte toute démarche juste et demande conseil pour les réponses partiellement correctes. Ce barème est pédagogique, pas officiel.

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PREMIERE · ACTIVITÉ 2

Le domaine fait partie de la question

Objectif : Distinguer formule et fonction définie sur un intervalle.

Un modèle donne f(x) = -x² + 6x, uniquement pour x dans [0 ; 5].

  1. Calculer f(0), f(3) et f(5).
  2. Peut-on demander f(-1) dans ce modèle ? Justifier sans calculer une image hors domaine.
  3. Calculer f′(x) puis déterminer le maximum sur le domaine.
  4. Un élève remplace tout de même x par -1 dans la formule. Expliquer ce que ce calcul permet, et ce qu’il ne permet pas, d’affirmer.
Comparer avec le corrigé et le barème
  1. f(0) = 0, f(3) = 9 et f(5) = 5. (1 point)
  2. Non : -1 n’appartient pas à [0 ; 5]. f(-1) n’est pas défini dans le modèle annoncé. (1 point)
  3. f′(x) = -2x + 6. La fonction croît sur [0 ; 3], puis décroît sur [3 ; 5]. Son maximum est 9, atteint en 3. (1 point)
  4. On peut évaluer l’expression polynomiale en -1, mais pas appeler ce résultat f(-1) pour la fonction restreinte. Il faudrait explicitement prolonger le modèle. (0,5 point pour le contenu + 0,5 pour une rédaction intelligible)

Accepte toute démarche juste et demande conseil pour les réponses partiellement correctes. Ce barème est pédagogique, pas officiel.

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PREMIERE · ACTIVITÉ 3

Choisir un modèle de tarif

Objectif : Comparer une fonction affine et une proportionnalité.

Deux loueurs proposent, pour t heures avec t ≥ 0 : A(t) = 12 + 3t et B(t) = 5t.

  1. Quel tarif est proportionnel à la durée ? Justifier.
  2. Comparer les tarifs pour 2 heures.
  3. Résoudre A(t) ≤ B(t) sur le domaine.
  4. Rédiger un conseil pour une location de 8 heures et préciser une limite du modèle.
Comparer avec le corrigé et le barème
  1. B(t) = 5t est proportionnel. A comporte des frais fixes non nuls : A(0) = 12. (1 point)
  2. A(2) = 18 euros ; B(2) = 10 euros. (1 point)
  3. 12 + 3t ≤ 5t donne t ≥ 6. Ces valeurs appartiennent au domaine t ≥ 0. (1 point)
  4. Pour 8 heures, A coûte 36 euros contre 40 pour B : A est moins cher de 4 euros. Le modèle n’inclut ni assurance ni autre frais éventuel. (0,5 point pour le contenu + 0,5 pour une rédaction intelligible)

Accepte toute démarche juste et demande conseil pour les réponses partiellement correctes. Ce barème est pédagogique, pas officiel.

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PREMIERE · ACTIVITÉ 4

Estimer ne signifie pas prédire avec certitude

Objectif : Qualifier une extrapolation et discuter sa validité.

Des données fictives sont observées pour les périodes x = 1 à 4. Un ajustement proposé est y = 3x + 20, en centaines de visites. On l’utilise aussi pour une extrapolation explicite à x = 6.

  1. Estimer y pour x = 3 puis x = 6.
  2. Qualifier chacune des deux estimations.
  3. Exprimer la prévision pour x = 6 en visites.
  4. Comment répondre à « Nous aurons exactement ce nombre de clients » ?
Comparer avec le corrigé et le barème
  1. Le modèle donne 29 puis 38 centaines de visites. (1 point)
  2. x = 3 : interpolation ; x = 6 : extrapolation, car 6 est hors de la plage des observations. Cette extension est expressément demandée, pas dissimulée comme une valeur observée. (1 point)
  3. 38 centaines représentent 3 800 visites. (1 point)
  4. Il s’agit d’une estimation fondée sur une tendance. Les conditions peuvent changer ; visites et clients distincts ne sont pas non plus synonymes. (0,5 point pour le contenu + 0,5 pour une rédaction intelligible)

Accepte toute démarche juste et demande conseil pour les réponses partiellement correctes. Ce barème est pédagogique, pas officiel.

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PREMIERE · ACTIVITÉ 5

Changer de population de référence

Objectif : Ne pas inverser une condition sans recalculer.

Sur 100 personnes, 60 sont abonnées et 36 de ces abonnées sont satisfaites. Au total, 56 personnes sont satisfaites. On choisit uniformément une personne.

  1. Calculer la probabilité d’être satisfait sachant que l’on est abonné.
  2. Calculer la probabilité d’être abonné sachant que l’on est satisfait.
  3. Les événements sont-ils indépendants ? Justifier.
  4. Expliquer pourquoi 36/100 ne répond à aucune des deux premières questions.
Comparer avec le corrigé et le barème
  1. La population de référence compte 60 abonnés : 36/60 = 3/5. (1 point)
  2. La population de référence compte 56 satisfaits : 36/56 = 9/14. (1 point)
  3. 3/5 est différent de 56/100 = 14/25 : il n’y a pas indépendance. (1 point)
  4. 36/100 est la probabilité de l’intersection : être à la fois abonné et satisfait, dans la population totale. (0,5 point pour le contenu + 0,5 pour une rédaction intelligible)

Accepte toute démarche juste et demande conseil pour les réponses partiellement correctes. Ce barème est pédagogique, pas officiel.

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PREMIERE · ACTIVITÉ 6

Expliquer une boucle et une recopie

Objectif : Algorithmique transversale : suivre les valeurs.

Initialement u = 3 et s = 0. Quatre fois de suite, on exécute d’abord s = s + u, puis u = 2u. Dans un tableur, B2 contient 3 et E1 contient 2.

  1. Écrire les quatre valeurs ajoutées à s.
  2. Donner les valeurs finales de s et de u.
  3. Expliquer l’erreur consistant à ajouter le dernier u une cinquième fois.
  4. Donner une formule à saisir en B3 puis à recopier vers le bas, avec le coefficient E1 fixe.
Comparer avec le corrigé et le barème
  1. Les valeurs ajoutées sont 3, 6, 12 et 24. (1 point)
  2. s = 45 et u = 48. (1 point)
  3. Le dernier doublement a lieu après la quatrième addition. 48 n’est donc pas ajouté à s. (1 point)
  4. La formule est =B2*$E$1. En B4, elle devient =B3*$E$1 : la référence E1 reste fixe, celle du terme précédent varie. (0,5 point pour le contenu + 0,5 pour une rédaction intelligible)

Accepte toute démarche juste et demande conseil pour les réponses partiellement correctes. Ce barème est pédagogique, pas officiel.

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Terminale · hors épreuve anticipée de Première

TERMINALE · ACTIVITÉ 7

Un seuil strict change le rang

Objectif : Justifier un rang entier sans arrondir au hasard.

Une quantité est modélisée par u(n) = 40 × (1/2)^n pour un entier naturel n.

  1. Calculer u(2), u(3) et u(4).
  2. Chercher le premier rang pour lequel u(n) ≤ 5.
  3. Chercher le premier rang pour lequel u(n) < 5.
  4. Expliquer pourquoi arrondir une solution réelle à l’entier le plus proche ne suffit pas en général.
Comparer avec le corrigé et le barème
  1. u(2) = 10 ; u(3) = 5 ; u(4) = 2,5. (1 point)
  2. La suite est strictement décroissante et u(3) = 5 : le premier rang est 3. (1 point)
  3. L’égalité en 3 est exclue : le premier rang strictement en dessous est 4. (1 point)
  4. Il faut tenir compte du sens de variation et du caractère strict du seuil, puis vérifier le rang retenu et son prédécesseur. (0,5 point pour le contenu + 0,5 pour une rédaction intelligible)

Accepte toute démarche juste et demande conseil pour les réponses partiellement correctes. Ce barème est pédagogique, pas officiel.

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TERMINALE · ACTIVITÉ 8

Un minimum sur le bon domaine

Objectif : Signe de la dérivée et interprétation.

Dans un modèle fictif, le coût moyen est C(x) = x + 36/x + 5 pour x dans [1 ; 12].

  1. Pourquoi le terme 36/x est-il défini sur tout le domaine ?
  2. Calculer C′(x), puis justifier son signe.
  3. Donner les variations et le minimum de C sur [1 ; 12].
  4. Comparer C(1), C(6) et C(12), puis expliquer ce que cette comparaison ne suffirait pas, seule, à prouver.
Comparer avec le corrigé et le barème
  1. Toutes les valeurs du domaine sont strictement positives ; le dénominateur ne s’annule pas. (1 point)
  2. C′(x) = 1 - 36/x² = (x - 6)(x + 6)/x². Sur [1 ; 12], x+6 et x² sont positifs : le signe est celui de x-6. (1 point)
  3. C décroît de 1 à 6, puis croît de 6 à 12. Le minimum est C(6) = 17. (1 point)
  4. C(1) = 42, C(6) = 17, C(12) = 20. Trois valeurs isolées ne prouvent pas le minimum sur tout un intervalle ; l’étude des variations le justifie. (0,5 point pour le contenu + 0,5 pour une rédaction intelligible)

Accepte toute démarche juste et demande conseil pour les réponses partiellement correctes. Ce barème est pédagogique, pas officiel.

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Préparer le bac de PremièreExercices de Terminale