Ce que tu vas savoir faire
Reconnaître trois termes consécutifs, utiliser les moyennes arithmétique et géométrique, calculer un terme et une somme, puis interpréter un modèle de versements réguliers.
Appuis de Première : suites arithmétiques et suites géométriques. Ici, le calcul général des sommes est un objectif de Terminale.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
- Repère le premier rang et la nature de l’évolution.
- Écris le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes.
- Choisis la formule puis contrôle avec une petite somme explicite.
1. Deux façons de reconnaître trois termes
Trois nombres a, b, c sont des termes consécutifs d’une suite arithmétique lorsque b − a = c − b. C’est équivalent à b = (a + c)/2 : le terme central est la moyenne arithmétique des deux autres.
Une même différence
Pour 12, 17, 22, les deux différences valent 5. Le terme central vaut aussi (12 + 22)/2 = 17. En revanche, 12, 17, 24 ne conviennent pas : les différences 5 et 7 ne sont pas égales.
Pour trois nombres strictement positifs, la nature géométrique se reconnaît à b/a = c/b. Elle équivaut à b² = ac, donc b = √(ac), la moyenne géométrique.
Un même quotient
Pour 4, 12, 36, les deux quotients valent 3 et √(4 × 36) = 12. La positivité permet de choisir la racine positive sans ambiguïté.
Pause mémoire · Quelle moyenne ?
Quel nombre positif complète les termes géométriques 9, m, 25 ?
Voir le raisonnement et la réponse
m = √(9 × 25) = 15. La moyenne arithmétique 17 répondrait à un autre problème.
2. Retrouver un terme sans tous les calculer
Géométrique : u(n) = u(p)qn−p, avec q > 0.
La différence n − p compte les étapes depuis le terme connu. Si u(1) = 80 et r = 6, alors u(10) = 80 + 9 × 6 = 134 : il n’y a que neuf ajouts. Pour v(1) = 80 et q = 1,1, v(4) = 80 × 1,1³ = 106,48.
Ces formules ne rendent pas tout phénomène arithmétique ou géométrique. Il faut d’abord justifier la différence constante ou le quotient constant, dans la durée de validité du modèle.
3. Lire la notation Σ et compter les termes
Le symbole Σ signifie « additionner ». L’écriture Σk=1 à 4 k² représente 1² + 2² + 3² + 4² = 30. La lettre k est un indice qui parcourt les valeurs indiquées ; elle ne reste pas dans le résultat.
Un décalage fréquent
Les n premiers termes d’une suite commençant au rang 0 vont de u(0) à u(n−1). La somme de u(0) à u(n) contient n+1 termes.
4. Additionner une suite arithmétique
La formule vient du regroupement du premier avec le dernier, du deuxième avec l’avant-dernier, etc. Chaque paire a la même somme.
Six versements croissants
On verse successivement 100, 120, 140, 160, 180 et 200 euros. Il y a six termes, donc S = 6 × (100 + 200)/2 = 900 euros. Ce total est différent du dernier versement, qui vaut 200 euros.
5. Additionner une suite géométrique
Pour q = 1 : S = N × premier terme.
On peut remplacer simultanément le numérateur et le dénominateur par leurs opposés. La formule reste valable pour 0 < q < 1. Pour la comprendre, écris S puis qS : la soustraction fait disparaître tous les termes intermédiaires.
Une somme qui diminue
100 + 50 + 25 + 12,5 contient quatre termes de raison 0,5. S = 100 × (1 − 0,5⁴)/(1 − 0,5) = 187,5.
Pause mémoire · Compter avant de calculer
Combien de termes contient u(0) + … + u(5) ?
Voir le raisonnement et la réponse
On compte six rangs : 0, 1, 2, 3, 4, 5.
6. Appliquer à des versements réguliers
Modèle fictif : on part de zéro, le capital est multiplié chaque année par 1,02, puis on verse 100 euros en fin d’année. Après trois versements, le premier a produit deux années d’intérêts, le deuxième une seule, et le dernier aucune.
Les versements cumulés sont 300 euros. Ne confonds pas ce total avec le capital acquis. Des versements en début d’année produiraient une année supplémentaire d’intérêts : il faut toujours préciser le calendrier.
Activité numérique : reproduis ce calcul avec la relation capital ← 1,02 × capital + 100, puis avec une somme de puissances. Compare les résultats dans le repère algorithmique et tableur.
7. Vérifier sa compréhension
Une suite arithmétique vérifie u(1)=7 et r=2. Calcule u(10), puis u(1)+…+u(10).
Afficher la correction
u(10)=7+9×2=25. Il y a dix termes : la somme vaut 10×(7+25)/2=160. Écrire d’abord les bornes évite de compter onze termes.
À retenir
Reconnaître la nature, compter les étapes et les termes, puis choisir entre calcul d’un terme et calcul d’une somme. Toujours interpréter le résultat et ses unités.
La bonne routine pour retenir
Demain, retrouve les deux formules de somme sans regarder. Dans quelques jours, explique le calendrier des versements à voix haute, puis refais une variante.