Ce que tu vas savoir faire
Modéliser une évolution répétée en pourcentage, déterminer le terme général, démontrer la nature géométrique, étudier les variations et trouver un seuil par calcul itératif.
Appuis : suites, coefficients multiplicateurs, évolution arithmétique.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
En clair : Une suite géométrique multiplie chaque terme par la même raison q. Dans une évolution en pourcentage, q est un coefficient multiplicateur.
- Transforme le taux d’évolution en coefficient : +20 % devient 1,20 ; −10 % devient 0,90.
- Vérifie que le quotient de deux termes successifs est constant.
- Calcule au rang n avec uₙ = u₀ × qⁿ ; distingue bien puissance et multiplication par n.
1. Définition et taux constant
Une suite est géométrique de raison q si u(n + 1) = q × u(n) à chaque rang. Dans ce cours, comme dans les modèles du programme, les termes sont strictement positifs : on prend u(0) > 0 et q > 0. La raison se retrouve par le quotient u(n + 1)/u(n).
Le taux t est écrit sous forme décimale. Une hausse de 4 % donne q = 1,04 ; une baisse de 12 % donne q = 0,88. Le quotient est constant, mais la différence u(n + 1) − u(n) ne l’est généralement pas.
Un capital fictif à intérêts composés
On place 1 000 € à un taux annuel hypothétique de 4 %, intérêts réinvestis et sans frais. On ne décrit pas ici une offre financière réelle. Le modèle est u(0) = 1 000 et u(n + 1) = 1,04u(n).
u(1) = 1 040 ; u(2) = 1 081,60 ; u(3) = 1 124,864. Après trois ans, on arrondit le résultat final à 1 124,86 €. Les gains annuels augmentent, parce que le taux s’applique à un capital de plus en plus grand.
2. Terme général et démonstration
Après n étapes, on a multiplié n fois par q. D’où :
Si le premier rang est 1 : u(n) = u(1)qn − 1.
À partir du rang p : u(n) = u(p)qn − p.
Pour le capital, u(10) = 1 000 × 1,0410 ≈ 1 480,24. La hausse globale est d’environ 48,02 %, et non 40 %. Cette formule explicite fait partie du programme 2026, en complément de la récurrence.
Démontrer une nature géométrique
Pour v(n) = 240 × 0,9n, on a v(n + 1) = 240 × 0,9n + 1 = 0,9 × v(n). La suite est donc géométrique, de raison 0,9 et de premier terme 240.
Si on sait seulement que v(2) = 81 et v(3) = 72,9 et que la suite est géométrique, alors q = 72,9/81 = 0,9 et v(0) = 81/0,9² = 100. Deux valeurs seules ne démontrent pas la nature d’une suite inconnue.
Pour retrouver une valeur antérieure, on divise par le coefficient. Par exemple, si un capital vaut 1 210 après deux hausses de 10 %, sa valeur initiale est 1 210/1,1² = 1 000. Retrancher 20 % à 1 210 serait incorrect.
3. Sens de variation
Puisque u(n) > 0, la différence u(n + 1) − u(n) = (q − 1)u(n) a le signe de q − 1.
| Raison | Variation | Interprétation |
|---|---|---|
| q > 1 | Strictement croissante | Hausse répétée |
| q = 1 | Constante | Valeur inchangée |
| 0 < q < 1 | Strictement décroissante | Baisse répétée |
Sur le graphique, les points ne sont généralement pas alignés. Une croissance à taux constant est dite exponentielle. Le mot désigne ici un modèle de suite : on n’a pas besoin d’introduire les fonctions exponentielles ou les logarithmes de terminale.
Le taux et la raison ne sont pas identiques
Une hausse de 10 % s’écrit q = 1,10, pas q = 0,10. Pour une baisse de 10 %, on obtient q = 0,90. Convertis toujours le pourcentage en coefficient multiplicateur avant d’élever à une puissance.
PAUSE MÉMOIRE · JE ME SOUVIENS
Puissance ou multiplication ?
Si u₀ = 80 et q = 1,2, combien vaut u₂ ?
Voir le raisonnement et la réponse
u₂ = 80 × 1,2² = 80 × 1,44 = 115,2. On ne multiplie pas q par le rang.
4. Trouver un seuil par itération
Quand le capital de 1 000 € placé au taux fictif de 4 % dépasse-t-il 1 500 € ? On recherche le plus petit entier n tel que 1 000 × 1,04n > 1 500.
Pour trouver le premier rang qui dépasse le seuil, on compare les termes voisins de 1 500 € : le terme au rang 10 reste inférieur et celui au rang 11 devient supérieur.
u(10) ≈ 1 480,24 ≤ 1 500 et u(11) ≈ 1 539,45 > 1 500. La suite est croissante : le capital est donc supérieur au seuil à partir du rang 11. Le mot « dépasse » impose une inégalité stricte (x > 1 500 et non x ≥ 1 500).
Pour une suite décroissante, par exemple v(n) = 500 × 0,8n, chercher le premier terme inférieur à 200 revient à répéter « v ← 0,8v » tant que v ≥ 200. On trouve v(4) = 204,8 et v(5) = 163,84, donc n = 5. Avant une boucle, vérifier que le seuil est atteignable ; un seuil négatif ne serait jamais franchi par cette suite positive.
5. Comparer deux croissances
Comparons A(n) = 1 000 + 50n et G(n) = 1 000 × 1,04n. Le premier ajoute 50 à chaque période ; le second augmente de 4 %.
| Rang n | A(n) | G(n), environ |
|---|---|---|
| 10 | 1 500 | 1 480,24 |
| 11 | 1 550 | 1 539,45 |
| 12 | 1 600 | 1 601,03 |
Au rang 11, A(11) = 1 550 et G(11) ≈ 1 539,45. Au rang 12, A(12) = 1 600 et G(12) ≈ 1 601,03. En vérifiant les rangs successifs depuis le départ, on trouve le premier dépassement au rang 12.
Ici, le dépassement persiste ensuite : dès le rang 12, la hausse de G à chaque étape vaut 0,04G(n) > 64, donc plus que les 50 ajoutés à A, et G continue de croître. Une simple intersection graphique ne justifierait pas, à elle seule, cette conclusion pour tous les rangs suivants.
6. Somme des termes
Pour une somme finie, écris les termes les uns après les autres : chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par la raison q, puis additionne tous les termes.
Pour calculer sans tableur, écris les premiers termes de la suite : u(0) = 1 000 ; u(1) = 1 000 × 1,04 = 1 040 ; u(2) = 1 040 × 1,04. La formule explicite u(n) = 1 000 × 1,04n permet de contrôler le résultat.
7. Vérifier sa compréhension
Un équipement fictif vaut initialement 800 € et perd 15 % de sa valeur par an. Définis la suite, calcule sa valeur au bout de trois ans et trouve la première année où elle vaut moins de 500 €.
Afficher la correction
v(0) = 800, q = 0,85, v(n + 1) = 0,85v(n) et v(n) = 800 × 0,85n. v(3) = 491,30 €. La suite est décroissante car les termes sont positifs et 0 < 0,85 < 1. v(2) = 578 ≥ 500 et v(3) = 491,30 < 500 : le premier rang est 3.
PAUSE MÉMOIRE · J’APPLIQUE
Traduire une baisse
Quel coefficient multiplie une valeur après une baisse de 10 % ?
Voir le raisonnement et la réponse
1 − 0,10 = 0,90. Une baisse de 10 % signifie multiplier par 0,9.
À retenir
Géométrique signifie « même quotient ». Transformer le taux en coefficient multiplicateur, compter les étapes et arrondir à la fin. Pour les seuils, compare des rangs successifs au seuil ; aucun logarithme n’est nécessaire.
À toi de jouer !
Retrouve 8 exercices interactifs liés à cette leçon, avec vérification des réponses et corrigés détaillés.
La bonne routine pour retenir
Pas besoin de tout réussir du premier coup : reviens à la notion à plusieurs moments, sans relire immédiatement la correction.
- Maintenant : réponds à une pause mémoire sans regarder le cours.
- Après une pause : refais une question et explique les étapes à voix haute ou par écrit.
- Dans quelques jours : mélange cet exercice avec d’autres chapitres pour retrouver la bonne méthode.