Ce que tu vas savoir faire
Calculer avec des puissances réelles, reconnaître la variation de k ax, modéliser une évolution et retrouver son taux moyen.
Appuis : suites géométriques, coefficients multiplicateurs et moyennes géométriques.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
- Transforme chaque taux en coefficient multiplicateur.
- Repère le nombre et la durée des périodes.
- Écris le modèle, puis vérifie la valeur au temps zéro et après une période.
1. Passer des rangs entiers au temps continu
La suite u(n)=100×1,2n décrit une hausse de 20 % par période entière. Pour proposer une valeur à un instant intermédiaire, on prolonge ce modèle par f(x)=100×1,2x, où x est réel.
Pour toute base a strictement positive, la fonction x ↦ ax est une fonction exponentielle de base a. Elle prend uniquement des valeurs positives. La courbe passe par (0 ; 1), car a⁰=1, et par (1 ; a).
Une demi-période
Si f(x)=100×1,44x, alors f(0)=100, f(1)=144 et f(0,5)=100×√1,44=120. La valeur à mi-temps n’est pas 122, qui serait la moyenne arithmétique des deux extrêmes.
Un modèle continu est un choix de représentation. Il ne prouve pas que l’évolution réelle suit exactement cette courbe entre les observations.
2. Utiliser les propriétés des puissances
a−x=1/ax ; a1/n est la racine n-ième positive de a.
(ax)n=anx, pour n entier.
Ces propriétés supposent a>0. En particulier, un exposant négatif ne produit pas une valeur négative : 2−3=1/8. Dans un produit de puissances de même base, on additionne les exposants : 2³×2⁴=2⁷=128.
Ne pas confondre addition et multiplication
2³+2⁴=8+16=24, pas 2⁷. La règle d’addition des exposants concerne un produit, pas une somme.
Pause mémoire · Un exposant négatif
Combien vaut 2−2 ?
Voir le raisonnement et la réponse
2−2=1/2²=1/4. Une puissance d’une base positive reste positive.
3. Lire le sens de variation
Si a>1, ax est strictement croissante. Si 0<a<1, elle est strictement décroissante. Si a=1, elle est constante, égale à 1.
Pour f(x)=k ax, un coefficient k positif conserve cette variation, un coefficient k négatif l’inverse. Si k=0, f est constante égale à zéro.
Le signe de k compte aussi
f(x)=5×0,8x est positive et décroissante. g(x)=−5×0,8x est négative et croissante : ses valeurs −5, −4, −3,2 augmentent, même si elles restent négatives.
La lecture des variations ne nécessite pas ici de calculer une dérivée d’exponentielle. Le parcours porte sur les bases a>0 et ne suppose pas les techniques de spécialité de la voie générale.
4. Calculer un taux d’évolution moyen
Une valeur strictement positive passe de V0 à Vn en n périodes de même durée. Le coefficient global est C=Vn/V0. Le coefficient moyen q doit vérifier qn=C.
En pourcentage : 100×(C1/n−1).
De 100 à 121 en deux ans
C=121/100=1,21. Le coefficient annuel moyen vaut √1,21=1,1, soit une hausse annuelle moyenne de 10 %. Le taux global est 21 %, et non 20 %.
Avec des taux successifs différents, commence par multiplier leurs coefficients. Une hausse de 20 % suivie d’une baisse de 10 % donne C=1,2×0,9=1,08. Le taux moyen est √1,08−1≈0,03923, soit environ 3,923 % par période.
Pause mémoire · Global ou moyen ?
Une hausse globale de 44 % en deux ans correspond à quel taux annuel moyen ?
Voir le raisonnement et la réponse
1,2²=1,44 : deux hausses successives de 20 % produisent 44 % au total.
5. Construire un point intermédiaire
Sur une courbe y=K ax avec K>0, le point à l’abscisse (x1+x2)/2 a pour ordonnée √(y1y2). On utilise donc la moyenne arithmétique des abscisses et la moyenne géométrique des ordonnées.
Entre A(0 ; 4) et B(2 ; 36), le modèle exponentiel passe par (1 ; 12). Répéter cette construction permet de tracer progressivement la courbe. Dans un tableur, compare ces valeurs au modèle ax.
6. Vérifier sa compréhension
Une quantité fictive vaut 500 au départ et diminue de 10 % par an. Écris le modèle continu, donne sa variation et calcule sa valeur après deux ans.
Afficher la correction
Le coefficient est 0,9. f(x)=500×0,9x est positive et décroissante. f(2)=500×0,81=405. La diminution globale est (405−500)/500=−19 %, pas −20 %.
À retenir
Une évolution à taux constant est multiplicative. Les exposants décrivent le temps ; le coefficient moyen est une racine du coefficient global. Toujours vérifier les unités de temps et le signe du coefficient devant la puissance.
La bonne routine pour retenir
Sans regarder, retrouve demain la différence entre taux global et taux moyen. Plus tard, explique pourquoi 100, 120, 144 est une évolution multiplicative.