Ce que tu vas savoir faire
Dériver un polynôme de degré au plus trois, étudier le signe de sa dérivée, construire un tableau de variations et résoudre un problème d’optimisation.
Appuis : nombre dérivé et signe d’une expression factorisée.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
En clair : Le signe de la dérivée indique le sens de variation de la fonction. Pour chercher un extremum, repère où ce signe change.
- Calcule la dérivée f′(x) en dérivant chaque terme.
- Résous f′(x) = 0 et détermine le signe de f′ de part et d’autre.
- Construis le tableau de variations, puis calcule f aux points critiques et aux bornes.
1. De f′(a) à la fonction dérivée
Lorsqu’on associe à chaque x son nombre dérivé f′(x), on obtient la fonction dérivée f′. On distingue la fonction f′, l’expression f′(x), et le nombre f′(a) obtenu en remplaçant x par a.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| c, constante | 0 |
| x | 1 |
| x² | 2x |
| x³ | 3x² |
| ax + b | a |
Pour la fonction carré, [(a + h)² − a²]/h = 2a + h tend vers 2a. Pour le cube, [(a + h)³ − a³]/h = 3a² + 3ah + h² tend vers 3a². Ces calculs expliquent les deux règles, au lieu de les réduire à une recette.
2. Dériver une somme et un multiple
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées. La dérivée de kf, pour k constant, est kf′. On peut donc dériver terme par terme un polynôme :
alors f′(x) = 3ax² + 2bx + c.
Calcul pas à pas
Pour f(x) = 2x³ − 5x² + 7x − 4, la dérivée de 2x³ est 6x², celle de −5x² est −10x, celle de 7x est 7 et celle de −4 est 0. Ainsi f′(x) = 6x² − 10x + 7.
Au point 1, f(1) = 0 et f′(1) = 3. La tangente a donc pour équation y = 3(x − 1), soit y = 3x − 3.
Pour une expression factorisée comme (x − 2)(x + 4), on peut d’abord développer : x² + 2x − 8, puis dériver : 2x + 2. Les règles générales de dérivation des produits ou des quotients ne sont pas nécessaires ici.
Trois erreurs fréquentes
La dérivée d’une constante est 0, pas cette constante. La dérivée de x³ est 3x², pas x². Enfin, f′(x) ne vaut pas f(x)/x : la dérivation n’est pas une division.
3. Du signe de f′ aux variations de f
Pour une fonction dérivable sur un intervalle, les propriétés suivantes sont admises :
- Si f′ ≥ 0 sur cet intervalle, alors f est croissante.
- Si f′ ≤ 0, alors f est décroissante.
- Si f′ est identiquement nulle, alors f est constante.
Le signe de f′ renseigne sur les variations de f. Le signe de f indique si ses valeurs sont au-dessus ou au-dessous de zéro : c’est une autre question.
Lorsque f′ passe de + à −, f possède un maximum local au point de changement. Lorsque f′ passe de − à +, f possède un minimum local. Une dérivée nulle, sans changement de signe, ne suffit pas : pour x³, f′(0) = 0, mais la fonction reste croissante de part et d’autre de 0.
PAUSE MÉMOIRE · JE ME SOUVIENS
Interpréter un signe
Si f′(x) = 2x − 6, que fait f pour x < 3 ?
Voir le raisonnement et la réponse
Pour x < 3, 2x − 6 < 0. La fonction est décroissante sur cet intervalle.
Voir le lien entre pente et variations
Active JavaScript pour manipuler ce graphique. Les explications et exemples du cours restent accessibles.
4. Étude complète d’un polynôme de degré 3
Étudions f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 sur [−2 ; 5].
Méthode : dériver, factoriser, signer, calculer
1. Dérivée. f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3), factorisation que l’on vérifie en développant.
2. Signe. Les zéros sont −1 et 3. Le coefficient 3 est positif : la dérivée est positive avant −1 et après 3, négative entre les deux.
3. Valeurs importantes. f(−2) = 0 ; f(−1) = 7 ; f(3) = −25 ; f(5) = 7.
| Intervalle | [−2 ; −1] | [−1 ; 3] | [3 ; 5] |
|---|---|---|---|
| Signe de f′ à l’intérieur | + | − | + |
| Variation de f | 0 ↗ 7 | 7 ↘ −25 | −25 ↗ 7 |
Le minimum sur [−2 ; 5] est −25, atteint en 3. Le maximum sur cet intervalle vaut 7, atteint en −1 et en 5. Il fallait comparer les valeurs aux bornes avec celles des points où la dérivée s’annule. Un maximum local n’est pas automatiquement le seul maximum global.
5. Optimiser un bénéfice
Une entreprise fictive modélise son bénéfice B(q), en centaines d’euros, pour q dizaines d’articles, par B(q) = −q² + 12q − 20 sur [0 ; 12].
Résolution
B′(q) = −2q + 12. La dérivée s’annule en 6, est positive pour q < 6 et négative pour q > 6. Le bénéfice croît sur [0 ; 6], puis décroît sur [6 ; 12].
B(6) = −36 + 72 − 20 = 16. Le bénéfice maximal est donc 1 600 €, pour 60 articles. Les bornes donnent B(0) = B(12) = −20, ce qui confirme qu’elles ne réalisent pas le maximum.
Dans un autre contexte, la quantité peut être entière. Si le meilleur réel est 6,4, comparer les entiers voisins admissibles 6 et 7 avant de conclure. Il faut également vérifier qu’une solution respecte les capacités de production ou les autres contraintes.
6. Coût marginal et unités
La recette est la somme encaissée ; le coût est la dépense ; le bénéfice est recette − coût. Ces grandeurs ne doivent pas être confondues. Si C(q) est le coût total pour q unités, le coût exact d’une unité supplémentaire est C(q + 1) − C(q).
La dérivée C′(q) donne une approximation de ce coût supplémentaire lorsque le modèle est suffisamment régulier et que l’augmentation considérée est petite à son échelle. Plus généralement, C(q + h) − C(q) ≈ hC′(q).
Exact et approché
Avec C(q) = 0,02q² + 5q + 100 euros, C′(q) = 0,04q + 5. Pour q = 50, C′(50) = 7 €/unité. Le coût exact de la 51e unité vaut C(51) − C(50) = 7,02 €. On utilise donc une approximation, pas une égalité générale.
7. Vérifier sa compréhension
Sur [0 ; 5], étudie g(x) = x³ − 6x² + 9x. Calcule la dérivée, les variations et les extrema sur tout l’intervalle.
Afficher la correction
g′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). La fonction croît sur [0 ; 1], décroît sur [1 ; 3], puis croît sur [3 ; 5]. Les valeurs à comparer sont g(0) = 0, g(1) = 4, g(3) = 0 et g(5) = 20. Le minimum global est 0, atteint en 0 et 3 ; le maximum global est 20, atteint en 5. Le maximum local en 1, égal à 4, n’est pas le maximum global.
PAUSE MÉMOIRE · J’APPLIQUE
Trouver le minimum
Pour f(x) = x² − 6x + 2, quel est le minimum de f sur ℝ ?
Voir le raisonnement et la réponse
f′(x) = 2x − 6 change de négatif à positif en 3. f(3) = 9 − 18 + 2 = −7 : c’est le minimum.
À retenir
Ordre de travail : domaine → dérivée → signe de la dérivée → variations → valeurs aux bornes et aux points critiques → conclusion avec unités. Ne jamais transformer « f′(a) = 0 » en « maximum » sans étudier ce qui se passe autour.
À toi de jouer !
Retrouve 8 exercices interactifs liés à cette leçon, avec vérification des réponses et corrigés détaillés.
La bonne routine pour retenir
Pas besoin de tout réussir du premier coup : reviens à la notion à plusieurs moments, sans relire immédiatement la correction.
- Maintenant : réponds à une pause mémoire sans regarder le cours.
- Après une pause : refais une question et explique les étapes à voix haute ou par écrit.
- Dans quelques jours : mélange cet exercice avec d’autres chapitres pour retrouver la bonne méthode.