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Ce repère accompagne les chapitres d’analyse, de statistiques et de probabilités. Il rassemble les méthodes de calcul numérique et littéral, les proportions et les conversions nécessaires aux applications.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
En clair : Une erreur de priorité ou d’unité peut rendre un raisonnement juste en apparence mais faux au résultat. Avance une étape à la fois.
- Repère parenthèses, puissances, produits et sommes avant de calculer.
- Garde les unités et le groupe de référence pour les proportions ou pourcentages.
- Contrôle l’ordre de grandeur : un pourcentage de 25 % d’une quantité doit valoir un quart de cette quantité.
1. Priorités, signes et ordres de grandeur
Effectuer d’abord les opérations entre parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions. À priorité égale, lire de gauche à droite. Ainsi 18 ÷ 3 × 2 = 12, et non 3.
Calculer sans perdre les signes
3 − 2(5 − 8) = 3 − 2 × (−3) = 3 + 6 = 9. En revanche, −3² = −9 alors que (−3)² = 9 : dans la première écriture, le carré ne porte que sur 3.
Un produit de deux nombres de même signe est positif ; de signes contraires, il est négatif. Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : a − (−b) = a + b.
Avant une opération, estimer le résultat. Pour 49,8 × 20,1, l’ordre de grandeur est 50 × 20 = 1 000 ; la valeur exacte est 1 000,98. Un résultat de 10 009,8 doit donc alerter. Les arrondis se font de préférence à la fin : 1/3 est exact, 0,333 est approché et s’écrit 1/3 ≈ 0,333.
2. Fractions et comparaisons
Une fraction a/b suppose b ≠ 0. Multiplier ou diviser son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul ne change pas sa valeur. Pour additionner, mettre au même dénominateur ; pour multiplier, multiplier les numérateurs et les dénominateurs.
(a/b) × (c/d) = ac/(bd).
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c), avec c également non nul.
Trois opérations
3/4 + 2/3 = 9/12 + 8/12 = 17/12. Ensuite (3/4) × (8/9) = 24/36 = 2/3. Enfin (3/4) ÷ (2/5) = (3/4) × (5/2) = 15/8.
Pour comparer a et b, on peut étudier a − b. Par exemple 5/6 − 4/5 = 1/30 > 0, donc 5/6 > 4/5. Pour deux nombres strictement positifs, on peut aussi comparer a/b à 1. On évite les produits en croix avec des dénominateurs de signe inconnu.
On simplifie des facteurs, pas des morceaux d’une somme
(3x)/(3y) = x/y si y ≠ 0. Mais (x + 3)/(y + 3) n’est pas égal à x/y en général. On ne peut pas « barrer les 3 » dans cette deuxième expression.
3. Puissances et écritures des nombres
Pour les puissances entières, les règles suivantes valent dès que les expressions sont définies :
(am)n = amn ; (ab)n = anbn.
a0 = 1 et a−n = 1/an pour a ≠ 0.
Exemples : 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 ; 10−3 = 0,001. L’écriture scientifique d’un nombre positif est a × 10n avec 1 ≤ a < 10 : 45 200 = 4,52 × 10⁴ et 0,00072 = 7,2 × 10−4.
Pour a ≥ 0, √a est le nombre positif ou nul dont le carré vaut a. Ainsi √49 = 7, mais l’équation x² = 49 a deux solutions : −7 et 7. Pour tout réel x, √(x²) = |x|. Les puissances ne se distribuent pas sur une addition : (a + b)² n’est pas a² + b².
PAUSE MÉMOIRE · JE ME SOUVIENS
Respecter l’ordre des opérations
Combien vaut 3 + 4 × 5 ?
Voir le raisonnement et la réponse
4 × 5 = 20 ; puis 3 + 20 = 23. Sans parenthèses, on ne commence pas par 3 + 4.
4. Proportions et pourcentages
Une proportion compare une partie à un ensemble de référence non vide :
Effectif de la partie = p × effectif total.
Les écritures 0,25, 1/4 et 25 % désignent la même proportion. Passer d’un décimal à un pourcentage multiplie sa valeur affichée par 100 : 0,035 = 3,5 %, pas 35 %.
Une proportion de proportion
Dans un groupe fictif de 240 personnes, 60 % sont membres d’un club. Parmi les membres, 25 % sont bénévoles. Il y a 240 × 0,60 = 144 membres et 144 × 0,25 = 36 bénévoles membres. Ces derniers représentent 0,60 × 0,25 = 0,15, soit 15 % du groupe entier.
Le résultat ne renseigne pas sur les bénévoles qui ne seraient pas membres du club. Il faut conserver exactement le groupe décrit dans l’énoncé.
Si 36 personnes représentent 15 % d’un groupe, son effectif est 36/0,15 = 240. Si deux sous-groupes se recouvrent, leurs proportions ne s’additionnent pas directement : il faut retirer leur intersection, comme dans le cours de probabilités.
5. Convertir et contrôler les unités
Une formule ne fonctionne que si les unités sont cohérentes. Pour les aires, le facteur de conversion est mis au carré ; pour les volumes, au cube.
| Grandeur | Égalité | Exemple |
|---|---|---|
| Longueur | 1 m = 100 cm | 2,5 m = 250 cm |
| Aire | 1 m² = 10 000 cm² | 0,3 m² = 3 000 cm² |
| Volume et capacité | 1 L = 1 dm³ ; 1 m³ = 1 000 L | 0,02 m³ = 20 L |
| Masse | 1 kg = 1 000 g | 750 g = 0,75 kg |
| Durée | 1 h = 60 min = 3 600 s | 1 h 30 min = 1,5 h |
| Vitesse | 1 m/s = 3,6 km/h | 72 km/h = 20 m/s |
Pour comprendre la dernière conversion : 72 km/h = 72 000 m / 3 600 s = 20 m/s. À vitesse constante, distance = vitesse × durée. Parcourir 150 km en 2 h 30 min donne 150/2,5 = 60 km/h, et non 150/2,30.
À l’échelle 1/200, une longueur de 3 cm sur un plan représente 600 cm, soit 6 m. Les aires correspondantes sont multipliées par 200², pas par 200. Pour une aire ou un volume, partir d’une formule et garder les unités permet de repérer les erreurs.
6. Développer, réduire et factoriser
Développer transforme un produit en somme. Réduire regroupe les termes de même nature. Factoriser transforme une somme en produit.
(a + b)² = a² + 2ab + b².
(a − b)² = a² − 2ab + b².
a² − b² = (a − b)(a + b).
Choisir le bon sens de transformation
3(x − 2) − 2(x + 1) = 3x − 6 − 2x − 2 = x − 8. Dans l’autre sens, 6x² − 9x = 3x(2x − 3). Pour x² − 25, on reconnaît une différence de carrés : (x − 5)(x + 5).
Pour calculer f(−2) avec f(x) = x² − 3x + 1, remplacer chaque x avec des parenthèses : (−2)² − 3 × (−2) + 1 = 11.
7. Équations, inéquations et isolement
Ajouter ou soustraire la même quantité des deux côtés d’une égalité conserve les solutions. Multiplier ou diviser par un même nombre non nul aussi. Pour une inégalité, multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens.
Résolutions types
3x − 7 = 11 ⇔ 3x = 18 ⇔ x = 6. Pour −2x + 5 ≥ 13, on obtient −2x ≥ 8, donc x ≤ −4.
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : (x − 2)(3x + 1) = 0 ⇔ x = 2 ou x = −1/3. Le mot « ou » est essentiel ; les deux équations n’ont pas à être vraies simultanément.
Pour une expression affine ax + b avec a ≠ 0, la racine est −b/a. Le signe est celui de a à droite de la racine et son opposé à gauche. Pour un produit de deux facteurs affines, on multiplie leurs signes : voir le tableau complet du second degré.
Isoler une grandeur suit les mêmes règles. Dans C = F + pv, avec p ≠ 0, on obtient v = (C − F)/p. Dans v = d/t avec t > 0, on obtient d = vt ; pour isoler t par t = d/v, il faut également v ≠ 0.
8. Vérifier sa compréhension
Calcule 2/3 − 1/4 ; factorise 5x² − 20 ; résous −3x + 2 < 11 ; détermine 12 % de 350 et convertis 45 minutes en heures.
Afficher la correction
2/3 − 1/4 = 8/12 − 3/12 = 5/12. Ensuite 5x² − 20 = 5(x² − 4) = 5(x − 2)(x + 2). L’inéquation donne −3x < 9, donc x > −3. Enfin 0,12 × 350 = 42 et 45/60 = 0,75 heure.
PAUSE MÉMOIRE · J’APPLIQUE
Calculer un pourcentage
Combien représentent 25 % de 240 personnes ?
Voir le raisonnement et la réponse
240 × 0,25 = 60. Le résultat est un effectif, pas un pourcentage.
À retenir
Écrire les parenthèses, garder les valeurs exactes aussi longtemps que possible, préciser la population de référence et vérifier les unités. Une estimation préalable est souvent le meilleur détecteur d’une erreur de calcul.
À toi de jouer !
Retrouve 8 exercices interactifs liés à cette leçon, avec vérification des réponses et corrigés détaillés.
La bonne routine pour retenir
Pas besoin de tout réussir du premier coup : reviens à la notion à plusieurs moments, sans relire immédiatement la correction.
- Maintenant : réponds à une pause mémoire sans regarder le cours.
- Après une pause : refais une question et explique les étapes à voix haute ou par écrit.
- Dans quelques jours : mélange cet exercice avec d’autres chapitres pour retrouver la bonne méthode.