Ce que tu vas savoir faire
Reconnaître une épreuve de Bernoulli, vérifier les hypothèses d’une répétition, représenter jusqu’à quatre essais et calculer des probabilités d’événements.
Appui : arbres pondérés et indépendance.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
En clair : Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès ou échec. Quand les essais sont indépendants, on multiplie les probabilités d’un même chemin.
- Écris p pour le succès et 1 − p pour l’échec.
- Pour un chemin donné, multiplie les probabilités des branches.
- Pour plusieurs chemins possibles, additionne leurs probabilités sans compter deux fois le même cas.
1. Deux issues : succès et échec
Une épreuve de Bernoulli est une expérience ayant deux issues, appelées succès S et échec E. Le mot « succès » est une convention : il peut désigner un événement indésirable, comme un défaut. Si P(S) = p, alors P(E) = 1 − p, avec 0 ≤ p ≤ 1.
On peut transformer une expérience à plusieurs issues en une épreuve de Bernoulli en ne conservant que la réponse à une question. Lancer un dé a six résultats possibles ; observer seulement « le résultat est 6 » ou « le résultat n’est pas 6 » donne une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 1/6.
La variable qui code S par 1 et E par 0 suit la loi de Bernoulli. Elle sera étudiée dans le chapitre sur les variables aléatoires.
2. Répétitions identiques et indépendantes
On répète l’épreuve n fois. Pour conserver le même p sur chaque branche, deux conditions sont nécessaires :
- Les épreuves sont identiques : même règle et même probabilité de succès.
- Elles sont indépendantes : les résultats précédents ne modifient pas les probabilités des essais suivants.
Des tirages avec remise et mélange dans une même urne peuvent satisfaire ces hypothèses. Sans remise dans un petit stock, les proportions changent après chaque tirage : on ne peut pas utiliser automatiquement un arbre à p constant. Deux essais peuvent avoir la même probabilité de succès sans être indépendants.
Périmètre de travail
Le programme demande des arbres pour n ≤ 4. On calcule les probabilités en décrivant les chemins, sans imposer la formule générale de la loi binomiale ni les coefficients binomiaux.
3. Un arbre à deux essais
Supposons p = 0,2. Chaque nœud possède deux branches : S de poids 0,2 et E de poids 0,8. L’indépendance permet de réutiliser ces poids au second niveau.
- Premier essai S : 0,2
- Second essai S : 0,2 → SS : 0,2 × 0,2 = 0,04.
- Second essai E : 0,8 → SE : 0,2 × 0,8 = 0,16.
- Premier essai E : 0,8
- Second essai S : 0,2 → ES : 0,8 × 0,2 = 0,16.
- Second essai E : 0,8 → EE : 0,8 × 0,8 = 0,64.
La probabilité d’exactement un succès vaut P(SE) + P(ES) = 0,32. Un seul chemin ne suffisait pas. La somme 0,04 + 0,16 + 0,16 + 0,64 = 1 confirme que tous les chemins ont été pris en compte.
PAUSE MÉMOIRE · JE ME SOUVIENS
Succès et échec
Lors d’un essai, P(succès) = 0,3. Combien vaut P(échec) ?
Voir le raisonnement et la réponse
P(échec) = 1 − 0,3 = 0,7. Les deux issues sont complémentaires.
4. Trois essais : organiser tous les chemins
On ajoute un troisième niveau au même arbre. Il y a huit chemins possibles. Ils ne sont pas équiprobables lorsque p ≠ 0,5.
| Chemin | Nombre de succès | Probabilité |
|---|---|---|
| SSS | 3 | 0,2³ = 0,008 |
| SSE | 2 | 0,2² × 0,8 = 0,032 |
| SES | 2 | 0,2 × 0,8 × 0,2 = 0,032 |
| ESS | 2 | 0,8 × 0,2² = 0,032 |
| SEE | 1 | 0,2 × 0,8² = 0,128 |
| ESE | 1 | 0,8 × 0,2 × 0,8 = 0,128 |
| EES | 1 | 0,8² × 0,2 = 0,128 |
| EEE | 0 | 0,8³ = 0,512 |
Lire les mots de l’énoncé
Exactement deux succès : SSE, SES ou ESS, donc 3 × 0,032 = 0,096.
Au moins deux succès : exactement deux ou trois, donc 0,096 + 0,008 = 0,104.
Au plus un succès : aucun ou un seul, donc 0,512 + 3 × 0,128 = 0,896. On retrouve aussi 1 − 0,104.
Un chemin ayant k succès et n − k échecs possède la probabilité pk(1 − p)n − k. Mais l’événement « exactement k succès » regroupe en général plusieurs chemins : il faut les énumérer ou les compter, sans en oublier.
5. Utiliser l’événement contraire
« Au moins un succès » a pour contraire « aucun succès ». Ce dernier correspond à un seul chemin, celui où tous les essais sont des échecs. Sous les hypothèses précédentes :
Avec trois essais de paramètre 0,2 : 1 − 0,8³ = 0,488. L’événement contraire évite d’additionner les sept autres chemins. « Au moins un succès » ne veut pas dire « exactement un succès », qui avait ici pour probabilité 0,384.
Le hasard n’a pas de mémoire dans ce modèle
Après plusieurs échecs, le prochain essai conserve la probabilité p de succès. Le fait qu’une série d’échecs soit peu probable avant de commencer ne rend pas le succès suivant plus probable une fois cette série observée.
6. Quatre essais avec un arbre
Pour quatre essais de paramètre p = 0,3, les chemins réalisant exactement deux succès sont SSEE, SESE, SEES, ESSE, ESES et EESS. Chacun a pour probabilité 0,3² × 0,7² = 0,0441. L’événement a donc pour probabilité 6 × 0,0441 = 0,2646.
La probabilité d’au moins un succès vaut 1 − 0,7⁴ = 0,7599. Les résultats sont théoriques : aucune simulation n’est nécessaire pour obtenir ces valeurs exactes.
Compter les chemins à la main
Pour exactement deux succès sur quatre essais, il y a six positions possibles des deux succès : SSEE, SESE, SEES, ESSE, ESES, EESS. Chaque chemin a la même probabilité 0,3² × 0,7². Additionner six fois cette valeur revient à multiplier par 6.
Le raisonnement par arbre et le dénombrement des chemins permettent de trouver une probabilité exacte, sans langage informatique.
7. Vérifier sa compréhension
Une épreuve de succès p = 0,5 est répétée trois fois indépendamment. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement un succès ? Au moins un succès ? Les huit chemins sont-ils équiprobables ?
Afficher la correction
Chaque chemin a la probabilité 0,5³ = 1/8 : ils sont ici équiprobables. Exactement un succès correspond à SEE, ESE et EES, donc 3/8. Au moins un succès a pour probabilité 1 − P(EEE) = 1 − 1/8 = 7/8.
PAUSE MÉMOIRE · J’APPLIQUE
Deux succès indépendants
On répète deux essais indépendants avec P(succès) = 0,4. Combien vaut P(SS) ?
Voir le raisonnement et la réponse
P(SS) = 0,4 × 0,4 = 0,16, car les essais sont indépendants.
À retenir
Vérifier les deux hypothèses avant de répéter p sur l’arbre. Un chemin se calcule par multiplication ; un nombre de succès peut demander une somme de plusieurs chemins. Pour « au moins un », penser à l’événement contraire.
À toi de jouer !
Retrouve 8 exercices interactifs liés à cette leçon, avec vérification des réponses et corrigés détaillés.
La bonne routine pour retenir
Pas besoin de tout réussir du premier coup : reviens à la notion à plusieurs moments, sans relire immédiatement la correction.
- Maintenant : réponds à une pause mémoire sans regarder le cours.
- Après une pause : refais une question et explique les étapes à voix haute ou par écrit.
- Dans quelques jours : mélange cet exercice avec d’autres chapitres pour retrouver la bonne méthode.