Ce que tu vas savoir faire
Calculer et transformer des logarithmes, résoudre une équation exponentielle et déterminer un premier rang entier. Le logarithme utilisé ici est le logarithme décimal, de base 10, noté log.
Appuis : puissances et exponentielles et équations et inéquations.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
- Vérifie que les arguments des logarithmes sont strictement positifs.
- Transforme la puissance en produit grâce à log(ax)=x log(a).
- Vérifie le sens de l’inégalité et contrôle les deux rangs autour du seuil.
1. Un logarithme retrouve une puissance de dix
Ainsi log(1)=0, log(10)=1, log(1000)=3 et log(0,01)=−2. L’argument est toujours positif, mais le résultat peut être négatif. Sur les réels, log(0) et log(−2) ne sont pas définis.
La fonction log est strictement croissante sur ]0 ; +∞[. En particulier, log(x)<0 pour 0<x<1, et log(x)>0 pour x>1. Pour un nombre qui n’est pas une puissance de dix familière, on utilise la touche log de la calculatrice.
Vérifier le sens d’une valeur approchée
log(2)≈0,30103. Comme 1<2<10, on attend bien un résultat entre 0 et 1. Le retour à la valeur initiale se fait avec 100,30103≈2.
2. Transformer les produits, quotients et puissances
log(AB)=log(A)+log(B).
log(A/B)=log(A)−log(B).
log(Ax)=x log(A).
Ces règles simplifient une expression sans connaître A et B directement. Si log(A)=0,7 et log(B)=0,2, alors log(AB)=0,9 et log(A/B)=0,5.
La somme ne suit pas la même règle
log(A+B) n’est pas égal à log(A)+log(B). Par exemple, log(10+10)=log(20)≈1,301, alors que log(10)+log(10)=2.
Pause mémoire · Retrouver l’exposant
Combien vaut log(0,001) ?
Voir le raisonnement et la réponse
10−3=1/1000=0,001. Le logarithme vaut donc −3.
3. Résoudre quand l’inconnue est l’exposant
Pour a>0, a≠1 et b>0, l’équation ax=b admet une unique solution.
Temps de doublement
Une quantité suit f(x)=500×1,04x. Pour atteindre 1000, on résout 1,04x=2. Ainsi x=log(2)/log(1,04)≈17,673 périodes.
Le premier rang entier où la quantité atteint au moins 1000 est 18. On contrôle : f(17)≈973,95 et f(18)≈1012,91.
Le cas a=1 se traite séparément : 1x=1 pour tout x. Si b=1, tous les réels conviennent ; sinon aucun ne convient.
4. Résoudre quand l’inconnue est la base
Dans xa=b, l’inconnue n’est plus l’exposant. Pour x>0, b>0 et a≠0, on obtient x=b1/a. Le logarithme donne aussi a log(x)=log(b), puis log(x)=log(b)/a.
Par exemple, x³=125 avec x>0 donne x=5. L’équation x²=9 sur tous les réels aurait deux solutions, −3 et 3 : la condition x>0 change donc bien la réponse.
5. Gérer les inégalités et les rangs entiers
La fonction log étant croissante, prendre le logarithme de deux quantités positives conserve le sens d’une inégalité. Mais diviser ensuite par log(a) négatif inverse ce sens.
Une décroissance
On cherche 0,8n<0,5. On obtient n log(0,8)<log(0,5), puis n>log(0,5)/log(0,8)≈3,106. Le premier entier est 4. Vérification : 0,8³=0,512 et 0,8⁴=0,4096.
Un seuil strict demande une attention supplémentaire lorsque la solution réelle est déjà entière. Pour 2n>8, il faut n>3, donc n=4 au minimum. Pour 2n≥8, n=3 suffit.
Pause mémoire · Un seuil strict
Quel est le premier entier n tel que 2n>8 ?
Voir le raisonnement et la réponse
L’inégalité stricte exclut n=3. Le rang suivant, 4, convient.
6. Compter les chiffres d’un entier
Si 10k≤N<10k+1 pour un entier N≥1, alors N possède k+1 chiffres. Le nombre k est la partie entière de log(N).
Pour N=3570, on a 1000≤3570<10000, donc k=3 et N a quatre chiffres. Près d’une puissance exacte de dix, un arrondi numérique peut induire en erreur : contrôle avec les puissances voisines.
7. Vérifier sa compréhension
Résous 3x=20, puis donne le premier entier n tel que 3n≥20.
Afficher la correction
x=log(20)/log(3)≈2,727. Le premier entier est 3, car 3²=9<20 et 3³=27≥20. Ici le calcul direct des puissances suffit aussi à contrôler la réponse.
À retenir
Vérifier le domaine, identifier l’inconnue, transformer la puissance et examiner le signe de log(a). Le résultat réel et le premier rang entier ne répondent pas à la même question.
La bonne routine pour retenir
Retrouve demain log(0,1), log(100) et la méthode de résolution de ax=b. Plus tard, compare un seuil strict et un seuil large.