Exercices : version de lecture
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1. Reconnaître une loi de Bernoulli
On lance un dé équilibré et X vaut 1 si le résultat est pair, 0 sinon.
- Calculer P(X = 1) et P(X = 0).
- Calculer l’espérance E(X).
Réponses demandées : P(X = 1) ; P(X = 0) ; E(X).
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Trois faces sur six sont paires : P(X = 1) = 3/6 = 0,5 ; P(X = 0) = 0,5.
E(X) = 0 × 0,5 + 1 × 0,5 = 0,5.
2. Calculer une espérance
Une variable X prend 0 avec probabilité 0,2 ; 1 avec 0,5 ; 2 avec 0,3.
- Calculer la somme des probabilités.
- Calculer E(X).
- Calculer P(X ≥ 1).
Réponses demandées : Somme des probabilités ; Espérance E(X) ; P(X ≥ 1).
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0,2 + 0,5 + 0,3 = 1, la loi est cohérente.
E(X) = 0 × 0,2 + 1 × 0,5 + 2 × 0,3 = 1,1. P(X ≥ 1) = 0,5 + 0,3 = 0,8.
3. Un gain aléatoire
Le gain X d’un jeu fictif vaut −2 € avec probabilité 0,7 et 5 € avec probabilité 0,3.
- Calculer P(X > 0).
- Calculer E(X).
- L’espérance est-elle positive ?
Réponses demandées : P(gain positif) ; E(X), en € ; Espérance positive ?.
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E(X) = (−2) × 0,7 + 5 × 0,3 = −1,4 + 1,5 = 0,1 €.
Le gain moyen théorique est donc positif de 0,10 € par partie.
4. Variables de Bernoulli
Une épreuve a une probabilité de succès p = 0,4. La variable X vaut 1 lors d’un succès.
- Calculer P(X = 0) et E(X).
- Sur 20 essais, combien de succès attend-on en moyenne ?
Réponses demandées : P(X = 0) ; E(X) ; Nombre moyen de succès.
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Pour une variable de Bernoulli, E(X) = p = 0,4 et P(X = 0) = 0,6.
Sur 20 essais, le nombre moyen de succès vaut 20 × 0,4 = 8.
5. Décision à partir d’un gain moyen
Un jeu permet de gagner 10 € avec probabilité 0,25 ou de perdre 4 € avec probabilité 0,75.
- Déterminer P(gain positif).
- Calculer le gain moyen E(X).
- L’espérance est-elle favorable au joueur ?
Réponses demandées : P(X > 0) ; Espérance, en € ; Favorable ?.
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E(X) = 10 × 0,25 + (−4) × 0,75 = 2,5 − 3 = −0,5 €.
Sur le long terme, la perte moyenne théorique serait 0,50 € par partie.
6. Lire une fréquence simulée
Dans 100 essais avec probabilité de succès théorique p = 0,4, on observe 37 succès.
- Calculer la fréquence observée.
- Donner l’effectif de succès attendu en moyenne.
- Calculer l’écart fréquence − probabilité.
Réponses demandées : Fréquence observée ; Effectif moyen attendu ; Écart.
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Fréquence = 37/100 = 0,37 ; espérance du nombre de succès = 100 × 0,4 = 40.
L’écart à p vaut 0,37 − 0,4 = −0,03, soit −3 points de pourcentage.
7. Comprendre la fluctuation
On simule 50 épreuves identiques avec p = 0,3. Un échantillon a donné 18 succès.
- Calculer la fréquence f.
- Comparer f à p : donner la différence f − p.
- Peut-on observer une fréquence différente de p ?
Réponses demandées : Fréquence f ; f − p ; Fréquence différente possible ?.
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f = 18/50 = 0,36, donc f − p = 0,06.
La fréquence d’un échantillon fluctue : elle n’est pas nécessairement égale à la probabilité théorique.
8. Comparer deux échantillons
Deux simulations de succès ont donné 40 succès sur 100 essais et 70 succès sur 200 essais. La probabilité théorique est p = 0,35.
- Calculer les deux fréquences.
- Laquelle est la plus proche de p ?
- Calculer l’écart absolu de la première fréquence à p.
Réponses demandées : Première fréquence ; Seconde fréquence ; La plus proche ; Premier écart absolu.
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Les fréquences sont 40/100 = 0,40 et 70/200 = 0,35.
La seconde coïncide avec p = 0,35. L’écart absolu de la première est |0,40 − 0,35| = 0,05.
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