Exercices : version de lecture
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1. Comprendre une série de couples
Les points observés sont (1 ; 12), (2 ; 15), (3 ; 19), (4 ; 22).
- Combien y a-t-il d’observations ?
- Calculer les coordonnées du point moyen G.
Réponses demandées : Nombre de couples ; Abscisse moyenne ; Ordonnée moyenne.
Voir le corrigé
Il y a quatre couples : chacun correspond à une observation.
Moyenne des x = (1 + 2 + 3 + 4)/4 = 2,5 ; moyenne des y = (12 + 15 + 19 + 22)/4 = 17. Donc G(2,5 ; 17).
2. Déterminer une droite d’ajustement
Une droite passe par A(2 ; 7) et B(6 ; 19).
- Déterminer a et b dans y = ax + b.
- Estimer y pour x = 4.
Réponses demandées : Pente a ; Ordonnée b ; Pour x = 4.
Voir le corrigé
a = (19 − 7)/(6 − 2) = 12/4 = 3 ; b = 7 − 3 × 2 = 1.
La droite y = 3x + 1 donne y = 3 × 4 + 1 = 13.
3. Interpréter un modèle
Le chiffre d’affaires y (en milliers d’euros) est estimé par y = 5x + 10, où x est le nombre de campagnes.
- Donner la pente et l’ordonnée à l’origine.
- Estimer y pour x = 6.
- Quel gain prévu pour une campagne supplémentaire ?
Réponses demandées : Pente a ; Ordonnée à l’origine b ; Prévision pour 6 ; Gain pour +1 campagne.
Voir le corrigé
La pente a = 5 signifie environ 5 milliers d’euros supplémentaires par campagne ; b = 10 est l’ordonnée à l’origine.
Pour x = 6, y = 5 × 6 + 10 = 40 milliers d’euros.
4. Nuage aligné
Un petit nuage est formé des points (1 ; 4), (2 ; 6), (3 ; 8), (4 ; 10).
- Donner la pente de la droite qui les relie.
- Déterminer l’ordonnée à l’origine.
- Prévoir y pour x = 5.
Réponses demandées : Pente ; Ordonnée à l’origine ; Valeur prévue à x = 5.
Voir le corrigé
Quand x augmente de 1, y augmente de 2 : a = 2.
Avec (1 ; 4), on a 4 = 2 + b, donc b = 2. Le modèle y = 2x + 2 donne 12 pour x = 5.
5. Interpoler ou extrapoler ?
On a mesuré une grandeur pour 1 ≤ x ≤ 5 et retenu l’ajustement y = 8x + 15.
- Calculer y pour x = 3 puis x = 7.
- Classer les deux estimations.
Réponses demandées : Prévision x = 3 ; Prévision x = 7 ; x = 3 ; x = 7.
Voir le corrigé
Pour x = 3, y = 24 + 15 = 39 : l’estimation est dans la plage observée, c’est une interpolation.
Pour x = 7, y = 56 + 15 = 71 : on sort de la plage observée, donc c’est une extrapolation à prendre avec précaution.
6. Passer par le point moyen
Pour les données x : 1 ; 2 ; 3 ; 4 et y : 10 ; 13 ; 15 ; 18, on propose la droite y = 2,6x + 7,5.
- Calculer les coordonnées de G.
- Vérifier la valeur estimée par la droite en x = 2,5.
- Prévoir y en x = 5.
Réponses demandées : x moyen ; y moyen ; Prévision au point moyen ; Estimation pour x = 5.
Voir le corrigé
G a pour coordonnées ((1 + 2 + 3 + 4)/4 ; (10 + 13 + 15 + 18)/4) = (2,5 ; 14).
La droite donne 2,6 × 2,5 + 7,5 = 14 : elle passe bien par G. Pour x = 5, elle donne 20,5.
7. Portée d’une prévision
On possède des mesures pour 10 ≤ x ≤ 50 et un ajustement y = 0,8x + 25.
- Estimer y à x = 30 et x = 70.
- Identifier le calcul qui extrapole.
Réponses demandées : y pour x = 30 ; y pour x = 70 ; Extrapolation.
Voir le corrigé
Pour 30 : 0,8 × 30 + 25 = 49 ; cette valeur est dans la plage.
Pour 70 : 0,8 × 70 + 25 = 81. Comme 70 est hors de [10 ; 50], cette prédiction est une extrapolation.
8. Garder l’esprit critique
Les observations (dépenses publicitaires ; ventes) sont (1 ; 11), (2 ; 13), (3 ; 15), (4 ; 17), en unités adaptées.
- Calculer la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite.
- La corrélation prouve-t-elle que la publicité cause seule les ventes ?
Réponses demandées : Pente ; Ordonnée à l’origine ; Preuve de causalité ?.
Voir le corrigé
Le nuage est aligné sur y = 2x + 9 : l’augmentation est de 2 unités pour une unité de publicité.
La relation statistique ne suffit pas à établir un lien de cause à effet ; d’autres facteurs peuvent intervenir.
Revoir la lecon