Exercices : version de lecture
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1. Union, intersection et complémentaire
Parmi 100 personnes, 60 sont dans A, 40 dans B et 20 sont à la fois dans A et B.
- Calculer l’effectif de A ∪ B.
- Donner P(A ∩ B) et P(non A).
Réponses demandées : Effectif de A ∪ B ; P(A ∩ B) ; P(non A).
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|A ∪ B| = 60 + 40 − 20 = 80.
P(A ∩ B) = 20/100 = 0,2 et P(non A) = (100 − 60)/100 = 0,4.
2. Un tableau croisé
Sur 200 clients, 80 utilisent un mobile, dont 40 sont abonnés. Parmi les 120 autres, 50 sont abonnés.
- Déterminer P(abonné | mobile).
- Déterminer P(abonné | non mobile), au millième.
- Calculer P(abonné).
Réponses demandées : P(abonné | mobile) ; P(abonné | non mobile) ≈ ; P(abonné).
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On change le dénominateur selon la condition : 40/80 = 0,5 et 50/120 ≈ 0,417.
Au total 40 + 50 = 90 abonnés sur 200, donc P(abonné) = 90/200 = 0,45.
3. Inverser une condition
Dans le tableau précédent, 40 clients sont à la fois sur mobile et abonnés, et 90 sont abonnés au total.
- Calculer P(mobile | abonné), au millième.
- Calculer P(mobile ∩ abonné).
- Donner P(mobile).
Réponses demandées : P(mobile | abonné) ≈ ; P(mobile ∩ abonné) ; P(mobile).
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La condition « abonné » restreint à 90 personnes : P(mobile | abonné) = 40/90 ≈ 0,444.
L’intersection est 40/200 = 0,2 ; P(mobile) = 80/200 = 0,4.
4. Lire un arbre de probabilité
On sait que P(A) = 0,3, P(B | A) = 0,8 et P(B | non A) = 0,2.
- Calculer P(A ∩ B).
- Calculer P(non A ∩ B).
- En déduire P(B).
Réponses demandées : P(A ∩ B) ; P(non A ∩ B) ; P(B).
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La probabilité le long d’un chemin est le produit des branches : 0,3 × 0,8 = 0,24.
L’autre chemin : 0,7 × 0,2 = 0,14. La probabilité totale est P(B) = 0,24 + 0,14 = 0,38.
5. Tester l’indépendance
On donne P(A) = 0,4, P(B) = 0,25 et P(A ∩ B) = 0,1.
- Calculer P(A) × P(B).
- Décider si A et B sont indépendants.
- Calculer P(A ∪ B).
Réponses demandées : Produit P(A) × P(B) ; Indépendants ? ; P(A ∪ B).
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P(A)P(B) = 0,4 × 0,25 = 0,10 = P(A ∩ B). Les événements sont indépendants.
P(A ∪ B) = 0,4 + 0,25 − 0,1 = 0,55.
6. Identifier une dépendance
On donne P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,3.
- Calculer le produit P(A)P(B).
- Tester l’indépendance.
- Calculer P(B | A).
Réponses demandées : P(A)P(B) ; Indépendants ? ; P(B | A).
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P(A)P(B) = 0,2 alors que P(A ∩ B) = 0,3 : ce n’est pas l’égalité attendue, donc ils ne sont pas indépendants.
P(B | A) = 0,3/0,5 = 0,6.
7. Comparer deux sous-populations
Une enquête porte sur 120 personnes : 70 femmes, dont 28 ont acheté un article, et 50 hommes, dont 10 ont acheté.
- Calculer P(achat | femme).
- Calculer P(achat | homme).
- Déterminer P(achat), au millième.
Réponses demandées : P(achat | femme) ; P(achat | homme) ; P(achat) ≈.
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Parmi les 70 femmes, 28 ont acheté : 28/70 = 0,4 ; parmi les 50 hommes, 10 ont acheté : 10/50 = 0,2.
L’ensemble compte 28 + 10 = 38 achats sur 120, donc 38/120 ≈ 0,317.
8. La probabilité après un test
Dans un contrôle de fabrication, 10 % des pièces sont défectueuses. Un test est positif pour 90 % des pièces défectueuses et pour 20 % des autres.
- Calculer P(défectueuse ∩ test positif).
- Calculer P(test positif).
- Calculer P(défectueuse | test positif), au millième.
Réponses demandées : P(défaut ∩ positif) ; P(test positif) ; P(défaut | positif) ≈.
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Premier chemin : 0,1 × 0,9 = 0,09. Second chemin : 0,9 × 0,2 = 0,18.
P(positif) = 0,09 + 0,18 = 0,27. Parmi les tests positifs, P(défaut | positif) = 0,09/0,27 = 1/3 ≈ 0,333.
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