06 / PARCOURS INTERACTIF
8 exercices interactifs avec de nouvelles valeurs après chaque vérification, un score, des indices et des corrections en vert ou rouge.
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La fonction est f(x) = x². On considère les points d’abscisses 1 et 3 sur sa courbe.
Réponses demandées : f(1) ; f(3) ; Pente de la sécante.
Le taux de variation vaut (f(3) − f(1))/(3 − 1) = (9 − 1)/2 = 4.
C’est la pente de la droite passant par (1 ; 1) et (3 ; 9).
Pour f(x) = x², on étudie les sécantes depuis le point d’abscisse 2.
Réponses demandées : Taux pour h = 0,1 ; Taux pour h = 0,01 ; Nombre dérivé estimé.
(2 + h)² − 2² = 4h + h² ; le taux vaut 4 + h.
Avec h = 0,1 il vaut 4,1 ; avec h = 0,01 il vaut 4,01. En rapprochant h de 0, on obtient f′(2) = 4.
La tangente à la courbe d’une fonction au point d’abscisse 1 a pour équation y = 3x + 2.
Réponses demandées : f′(1) ; f(1).
Le coefficient directeur de la tangente est 3 : c’est f′(1).
Au point de tangence x = 1, y = 3 × 1 + 2 = 5, donc f(1) = 5.
On connaît f(x) = x² et f′(1) = 2.
Réponses demandées : f(1) ; Coefficient a ; Coefficient b.
La tangente passe par (1 ; 1) et a pour pente 2.
Dans y = 2x + b, on remplace x = 1 et y = 1 : 1 = 2 + b, donc b = −1. La tangente est y = 2x − 1.
Une fonction est g(x) = 5x + 7.
Réponses demandées : g′(2) ; g(2) ; Variation.
La pente d’une droite y = 5x + 7 est constante et vaut 5 : la dérivée vaut 5 partout.
g(2) = 5 × 2 + 7 = 17. Le coefficient 5 étant positif, g est croissante.
Un coût (en euros) est modélisé par C(x) = 0,5x² + 10x + 100.
Réponses demandées : C(20), en € ; C′(20) ; C(20,1) estimé.
C(20) = 0,5 × 400 + 200 + 100 = 500 €. La dérivée au point 20 vaut 30 €/unité.
Pour une augmentation de 0,1 unité, le coût augmente approximativement de 30 × 0,1 = 3 €, donc C(20,1) ≈ 503 €.
Pour f(x) = x², on connaît f′(−1) = −2.
Réponses demandées : f(−1) ; Ordonnée à l’origine b ; Tangente.
La tangente passe par (−1 ; 1) et a une pente −2.
On remplace : 1 = −2 × (−1) + b = 2 + b, donc b = −1. La tangente descend car sa pente est négative.
On sait qu’au point A(3 ; 7), une courbe possède une tangente de pente −4.
Réponses demandées : f(3) ; f′(3) ; Coefficient b ; Ordonnée à x = 5.
Le point de tangence A donne f(3) = 7 et la pente donne f′(3) = −4.
La droite y = −4x + b passe par (3 ; 7), donc 7 = −12 + b et b = 19. À x = 5, y = −20 + 19 = −1.
Revoir la lecon