À mobiliser toute l’année
Ce repère sert notamment dans les suites géométriques, les statistiques et les applications de gestion. On travaille ici avec des valeurs initiales strictement positives, sauf précision explicite.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
En clair : Pour faire évoluer une valeur, on multiplie par un coefficient. Lors de plusieurs évolutions, les coefficients se multiplient aussi.
- Traduis le taux : +t % devient 1 + t/100 ; −t % devient 1 − t/100.
- Multiplie la valeur initiale par chaque coefficient successif.
- Compare la valeur finale à la valeur initiale ; pour revenir en arrière, utilise l’inverse du coefficient.
1. Variation absolue et variation relative
Si une grandeur passe de VI à VF, la variation absolue vaut VF − VI. Elle conserve l’unité de la grandeur. Le taux d’évolution rapporte cette différence à la valeur initiale :
Un taux positif indique une hausse ; un taux négatif une baisse ; un taux nul une stabilité. Le quotient est un nombre décimal sans unité. Pour l’afficher en pourcentage, on le multiplie par 100.
Deux valeurs de référence
Un prix fictif passe de 80 € à 92 €. La hausse absolue est 12 € et le taux vaut 12/80 = 0,15, soit +15 %. Une hausse de 12 € sur un prix de 240 € ne représente que 12/240 = 5 %. Une même différence n’a donc pas toujours le même poids relatif.
Si la valeur initiale est nulle, le taux usuel n’est pas défini : on peut décrire une augmentation absolue, mais pas diviser par zéro. Pour des grandeurs non négatives, une baisse ne peut dépasser 100 %, alors qu’une hausse peut dépasser 100 %.
2. Le coefficient multiplicateur
Une évolution transforme la valeur initiale par multiplication. En développant VI + tVI, on obtient :
C = 1 + t = VF/VI ; t = C − 1.
| Évolution | Taux décimal | Coefficient |
|---|---|---|
| Hausse de 8 % | 0,08 | 1,08 |
| Baisse de 8 % | −0,08 | 0,92 |
| Hausse de 150 % | 1,5 | 2,5 |
| Valeur divisée par deux | −0,5 | 0,5 |
Appliquer et retrouver une évolution
Une réduction de 15 % sur 240 € donne 240 × 0,85 = 204 €. Inversement, si 204 € est le prix après cette réduction, le prix initial est 204/0,85 = 240 €, et non 204 × 1,15.
Pour calculer un prix toutes taxes comprises dans un exercice où le taux fourni est 20 %, multiplier le prix hors taxes par 1,20. Pour retrouver le hors taxes, diviser le TTC par 1,20. Le taux est une donnée de l’exercice, pas une affirmation sur une réglementation fiscale.
3. Évolutions successives
Lors de plusieurs évolutions, chaque taux s’applique à la valeur obtenue à l’étape précédente. Les coefficients se multiplient :
tglobal = Cglobal − 1.
Une hausse et une baisse de même taux
Une valeur de 100 augmente de 20 %, puis baisse de 20 %. Elle devient 100 × 1,20 = 120, puis 120 × 0,80 = 96. Le coefficient global est 0,96 et le taux global est −4 %. Les deux évolutions ne s’annulent pas, car elles ne portent pas sur la même base.
Avec deux hausses de 10 %, C = 1,1² = 1,21, soit une hausse globale de 21 %. Additionner 10 % + 10 % aurait oublié la hausse appliquée à la première augmentation. L’ordre de coefficients numériques fixés ne change pas leur produit ; en revanche, un montant fixe ajouté entre les étapes peut changer le résultat.
Pour n évolutions d’un même taux t, on obtient Vn = V0(1 + t)n. C’est le modèle des suites géométriques, pas une suite qui ajoute la même quantité.
PAUSE MÉMOIRE · JE ME SOUVIENS
Deux évolutions ne s’annulent pas
Une valeur de 100 augmente de 20 %, puis diminue de 20 %. Quelle est la valeur finale ?
Voir le raisonnement et la réponse
100 × 1,20 × 0,80 = 96. La baisse porte sur 120, pas sur 100 : le taux global est −4 %.
4. Évolution réciproque
Le taux réciproque ramène de VF à VI. Il faut annuler le coefficient C par une multiplication par son inverse :
tréciproque = 1/(1 + t) − 1 = −t/(1 + t).
Revenir à la valeur de départ
Après une hausse de 25 %, le coefficient est 1,25. Son inverse est 0,8 : une baisse de 20 % ramène à la valeur initiale. Exemple : 80 → 100 → 80.
Après une baisse de 20 %, le coefficient est 0,8. Son inverse vaut 1,25 : il faut une hausse de 25 % pour revenir au départ. Exemple : 100 → 80 → 100.
La baisse réciproque d’une hausse de 10 % vaut 1/1,1 − 1 ≈ −0,0909, soit −9,09 %. Les taux réciproques ne sont pas simplement opposés. Une baisse de 100 % conduit à zéro ; le coefficient inverse n’existe pas et aucun taux fini appliqué à zéro ne reconstitue la valeur positive initiale.
5. Indices base 100 et points de pourcentage
Un indice base 100 compare une valeur V à une valeur de référence V0 > 0 :
Un indice 125 signifie +25 % par rapport à la base ; un indice 92 signifie −8 %. Pour calculer l’évolution entre deux dates d’indices IA et IB, le coefficient est IB/IA, pas leur différence.
Entre deux indices
Une série passe de l’indice 120 à l’indice 126. La variation est de 6 points d’indice, mais le taux est (126 − 120)/120 = 0,05, soit 5 %. La base 100 n’est plus le point de départ de cette comparaison.
Une proportion qui passe de 20 % à 25 % gagne 5 points de pourcentage. Son augmentation relative vaut (25 − 20)/20 = 25 %. Il faut préciser si on parle de points ou d’un taux relatif.
Ne pas moyenner des taux sans examiner les effectifs
Deux magasins réalisent 100 € et 900 € de ventes au départ. Le premier progresse de 20 %, le second de 0 %. Les nouvelles ventes valent 120 + 900 = 1 020 €, contre 1 000 € : la hausse globale est 2 %, pas la moyenne simple de 20 % et 0 %, qui serait 10 %.
6. Méthode de résolution sans calculatrice
Pour calculer un taux, soustrais la valeur de départ à la valeur finale, puis divise par la valeur de départ. Exemple : passer de 80 à 100 donne (100 − 80)/80 = 20/80 = 1/4, soit 25 %.
Pour deux évolutions successives, multiplie leurs coefficients : une hausse de 20 % puis une baisse de 20 % correspond à 1,2 × 0,8 = 0,96, soit une baisse globale de 4 %. Prendre une base de 100 aide à vérifier mentalement les résultats.
Avant de calculer, se poser trois questions : quelle est la valeur de référence ? Cherche-t-on une valeur, un coefficient ou un taux ? Les évolutions sont-elles successives, réciproques ou relatives à des populations différentes ?
7. Vérifier sa compréhension
Un prix augmente de 12 %, puis diminue de 5 %. Quel est le taux global ? Quel taux permet ensuite de revenir au prix initial ? Si le prix final est 212,80 €, quel était le prix initial ?
Afficher la correction
C = 1,12 × 0,95 = 1,064. Le taux global est +6,4 %. Le taux réciproque vaut 1/1,064 − 1 ≈ −0,06015, soit une baisse d’environ 6,02 %. Enfin, le prix initial était 212,80/1,064 = 200 €.
PAUSE MÉMOIRE · J’APPLIQUE
Retrouver le prix d’origine
Après une réduction de 20 %, un produit coûte 64 €. Quel était son prix initial ?
Voir le raisonnement et la réponse
Si P est le prix d’origine, 0,80 × P = 64, donc P = 64/0,80 = 80 €.
À retenir
Pour appliquer un taux, multiplier par 1 + t. Pour retrouver le départ, diviser par ce coefficient. Pour enchaîner, multiplier les coefficients. Pour revenir en arrière, inverser le coefficient, pas le signe du taux.
À toi de jouer !
Retrouve 8 exercices interactifs liés à cette leçon, avec vérification des réponses et corrigés détaillés.
La bonne routine pour retenir
Pas besoin de tout réussir du premier coup : reviens à la notion à plusieurs moments, sans relire immédiatement la correction.
- Maintenant : réponds à une pause mémoire sans regarder le cours.
- Après une pause : refais une question et explique les étapes à voix haute ou par écrit.
- Dans quelques jours : mélange cet exercice avec d’autres chapitres pour retrouver la bonne méthode.