07 / PARCOURS INTERACTIF
8 exercices interactifs avec de nouvelles valeurs après chaque vérification, un score, des indices et des corrections en vert ou rouge.
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Travaille sur une feuille. Les variantes et la vérification automatique nécessitent JavaScript ; les énoncés initiaux sont reproduits sans modification mathématique.
On donne f(x) = 3x² − 4x + 5.
Réponses demandées : Coefficient a ; Coefficient b ; f′(1).
La dérivée de 3x² est 6x, celle de −4x est −4 et celle de 5 est 0.
Donc f′(x) = 6x − 4 et f′(1) = 6 − 4 = 2.
Soit g(x) = x³ − 6x² + 4.
Réponses demandées : Coefficient a ; Coefficient b ; g′(2).
g′(x) = 3x² − 12x : la constante 4 disparaît.
g′(2) = 3 × 4 − 12 × 2 = 12 − 24 = −12.
On étudie f(x) = x² − 6x + 2.
Réponses demandées : Zéro de la dérivée ; Minimum ; Avant x = 3.
f′(x) = 2x − 6 est négative avant 3 et positive après 3 : f décroît puis croît.
f(3) = 9 − 18 + 2 = −7 : c’est le minimum.
Un bénéfice (en centaines d’euros) est donné par B(x) = −x² + 12x − 20 sur [0 ; 12].
Réponses demandées : Coefficient a de B′ ; Coefficient b de B′ ; x optimal ; Bénéfice maximal.
B′(x) = −2x + 12. Elle est positive jusqu’à 6, nulle à 6, puis négative.
B(6) = −36 + 72 − 20 = 16 : la fonction est maximale pour x = 6.
Sur [−2 ; 2], on considère h(x) = x³ − 3x, avec h′(x) = 3x² − 3.
Réponses demandées : Premier zéro ; Second zéro ; h(−1) ; h(1) ; Sur ]−1 ; 1[.
h′(x) = 3(x − 1)(x + 1) s’annule en −1 et 1.
h(−1) = −1 + 3 = 2, h(1) = 1 − 3 = −2. Entre −1 et 1, la dérivée est négative : h décroît.
On donne p(x) = 2x³ − 3x² et p′(x) = 6x² − 6x.
Réponses demandées : a ; Premier zéro ; Second zéro ; Signe entre 0 et 1.
6x² − 6x = 6x(x − 1). Les zéros sont 0 et 1.
Sur ]0 ; 1[, 6x est positif et x − 1 négatif : la dérivée est négative.
Le coût (en euros) est C(x) = 2x² + 10x + 100, pour x ≥ 0.
Réponses demandées : C(5), en € ; C′(5), en €/unité ; Hausse estimée, en €.
C(5) = 2 × 25 + 50 + 100 = 200 €.
C′(5) = 4 × 5 + 10 = 30 €/unité. Une variation de 0,1 unité donne environ 30 × 0,1 = 3 € de coût supplémentaire.
Une recette est modélisée par R(x) = −2x² + 20x + 30 sur [0 ; 10].
Réponses demandées : Coefficient a de R′ ; Coefficient b de R′ ; x optimal ; R(0) ; R(5) ; R(10).
R′(x) = −4x + 20, qui est positive jusqu’à 5 puis négative.
R(0) = 30, R(5) = −50 + 100 + 30 = 80, R(10) = −200 + 200 + 30 = 30. Le maximum sur [0 ; 10] vaut 80.
Revoir la lecon