Exercices : version de lecture
Travaille sur une feuille. Les variantes et la vérification automatique nécessitent JavaScript ; les énoncés initiaux sont reproduits sans modification mathématique.
1. Succès et échec
Une expérience a deux issues, et la probabilité de succès est p = 0,3.
- Trouver la probabilité de l’échec.
- Donner le nombre d’issues de l’épreuve.
Réponses demandées : P(échec) ; Nombre d’issues.
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Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès et échec.
P(échec) = 1 − P(succès) = 1 − 0,3 = 0,7.
2. Deux essais indépendants
Deux essais sont indépendants, avec P(S) = 0,4 et P(E) = 0,6.
- Calculer la probabilité du chemin S puis S.
- Calculer S puis E.
- Calculer E puis E.
Réponses demandées : P(SS) ; P(SE) ; P(EE).
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On multiplie les branches : P(SS) = 0,4² = 0,16.
P(SE) = 0,4 × 0,6 = 0,24 ; P(EE) = 0,6² = 0,36.
3. Exactement un succès
On effectue deux essais indépendants avec p = 0,4.
- Calculer la probabilité d’exactement un succès.
- Calculer la probabilité d’aucun succès.
- Calculer celle d’au moins un succès.
Réponses demandées : Exactement un succès ; Aucun succès ; Au moins un succès.
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Un seul succès correspond aux deux chemins SE et ES : 2 × 0,4 × 0,6 = 0,48.
Aucun succès : 0,6² = 0,36 ; au moins un : 1 − 0,36 = 0,64.
4. Trois essais équilibrés
On répète 3 fois une épreuve indépendante avec p = 0,5.
- Calculer P(SSS).
- Calculer P(EEE).
- Calculer la probabilité d’exactement deux succès.
Réponses demandées : P(SSS) ; P(EEE) ; Exactement 2 succès.
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Chaque chemin de trois issues a la probabilité 0,5³ = 0,125.
Il existe trois chemins avec exactement deux succès (SSE, SES, ESS), donc 3 × 0,125 = 0,375.
5. Au moins une réussite
On effectue trois essais indépendants, chacun avec p = 0,2.
- Calculer la probabilité de zéro succès.
- En déduire P(au moins un succès).
- Calculer P(exactement un succès).
Réponses demandées : Zéro succès ; Au moins un succès ; Exactement un succès.
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P(EEE) = 0,8³ = 0,512, donc P(au moins un) = 1 − 0,512 = 0,488.
Un seul succès peut occuper trois positions : 3 × 0,2 × 0,8² = 0,384.
6. Quatre répétitions
On considère 4 essais indépendants avec p = 0,3.
- Calculer P(aucun succès).
- Calculer P(au moins un succès).
- Calculer P(quatre succès).
Réponses demandées : Aucun succès ; Au moins un succès ; Quatre succès.
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P(aucun) = 0,7⁴ = 0,2401 ; P(au moins un) = 1 − 0,2401 = 0,7599.
P(quatre succès) = 0,3⁴ = 0,0081.
7. Quand les essais sont-ils indépendants ?
Une urne comporte quatre jetons, dont un rouge. On tire deux fois.
- Les tirages avec remise sont-ils indépendants ?
- Les tirages sans remise sont-ils indépendants ?
- Avec remise, calculer P(deux rouges).
Réponses demandées : Avec remise ; Sans remise ; P(RR) avec remise.
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Avec remise, la composition reste la même : les essais sont indépendants ; P(RR) = (1/4)² = 1/16 = 0,0625.
Sans remise, la composition change : les tirages ne sont pas indépendants.
8. Compter les chemins favorables
On effectue trois essais indépendants avec p = 0,6.
- Calculer la probabilité d’exactement deux succès.
- Calculer la probabilité de trois succès.
- En déduire P(au moins deux succès).
Réponses demandées : Exactement 2 succès ; 3 succès ; Au moins 2 succès.
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Deux succès correspondent à SSE, SES, ESS : 3 × 0,6² × 0,4 = 0,432.
Trois succès : 0,6³ = 0,216. Au moins deux : 0,432 + 0,216 = 0,648.
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