Ce que tu vas savoir faire
Reconnaître et démontrer la nature arithmétique, passer de la récurrence au terme général, prévoir une valeur, déterminer un seuil et calculer une somme de termes.
Appui : rang, terme et récurrence.
Besoin d’un coup de pouce ? La méthode en 3 étapes
En clair : Une suite arithmétique ajoute chaque fois la même quantité : la raison r. Ce n’est pas un pourcentage.
- Calcule la différence entre deux termes successifs : elle doit être constante.
- Repère le rang du premier terme, puis écris uₙ = u₀ + nr ou uₙ = u₁ + (n − 1)r.
- Pour une somme, associe les termes extrêmes ou utilise nombre de termes × moyenne des extrêmes.
1. Définition et raison
Une suite est arithmétique s’il existe un réel r tel qu’à chaque rang :
Le nombre r est la raison. Cela équivaut à dire que u(n + 1) − u(n) = r est constant. Une augmentation de 40 unités par période donne r = 40 ; une diminution de 15 unités donne r = −15. Une augmentation de 4 % n’est pas, en général, une augmentation arithmétique.
Modéliser une épargne sans intérêts
Une personne dispose initialement de 200 € et ajoute 50 € à la fin de chaque mois. On ignore ici intérêts et frais. u(n) représente le capital après n versements mensuels : u(0) = 200 et u(n + 1) = u(n) + 50. Les premiers termes sont 200, 250, 300, 350.
2. Exprimer directement un terme
Après n étapes, on a ajouté n fois la raison. Cela donne la formule explicite :
Avec un premier rang 1 : u(n) = u(1) + (n − 1)r.
Entre deux rangs p et n : u(n) = u(p) + (n − p)r.
Ces écritures parlent de la même idée : valeur connue + nombre de pas × raison. Compter les pas plutôt que mémoriser une lettre particulière évite les confusions d’indice.
Prévoir et retrouver une raison
Dans l’épargne précédente, u(12) = 200 + 12 × 50 = 800 €. Il y a eu douze versements, même si la liste u(0), …, u(12) contient treize termes.
Une autre suite arithmétique vérifie v(3) = 420 et v(8) = 570. Il y a cinq pas entre les deux rangs : 570 − 420 = 5r, donc r = 30. Ainsi v(0) = 420 − 3 × 30 = 330 et v(n) = 330 + 30n.
Pour démontrer qu’une expression définit une suite arithmétique, calculer la différence à un rang quelconque. Avec w(n) = 7 − 3n : w(n + 1) − w(n) = [7 − 3(n + 1)] − (7 − 3n) = −3. La raison est donc −3.
3. Variations et représentation
La différence entre deux termes consécutifs vaut r. Si r > 0, la suite est strictement croissante ; si r < 0, elle est strictement décroissante ; si r = 0, elle est constante.
Les points (n ; u(n)) sont alignés sur la droite y = u(0) + rx. Ils restent cependant des points à abscisses entières : la suite n’est pas une grandeur continue. Le modèle est appelé une évolution discrète linéaire, même lorsque la droite associée ne passe pas par l’origine.
Vérifier la durée de validité du modèle
Un stock qui perd 15 articles par jour ne peut pas rester négatif. Une suite peut être mathématiquement définie pour tout n, alors que le contexte impose d’arrêter l’étude quand le stock s’épuise.
PAUSE MÉMOIRE · JE ME SOUVIENS
Attention au rang initial
Si u₁ = 5 et la raison est 3, combien vaut u₄ ?
Voir le raisonnement et la réponse
u₄ = u₁ + (4 − 1) × 3 = 5 + 9 = 14.
4. Déterminer un premier rang
Dans le modèle u(n) = 200 + 50n, on cherche le premier mois où le capital atteint au moins 1 025 €. On traduit « au moins » par ≥ :
Comme n est entier positif ou nul, le premier rang est 17. Vérification indispensable : u(16) = 1 000 < 1 025 et u(17) = 1 050 ≥ 1 025. La croissance montre qu’à partir de ce rang le seuil reste atteint.
Un seuil avec une suite décroissante
Un stock fictif suit s(n) = 300 − 12n. Quand devient-il strictement inférieur à 100 ? 300 − 12n < 100 ⇔ −12n < −200 ⇔ n > 200/12 ≈ 16,67. On trouve n = 17. s(16) = 108 et s(17) = 96.
Diviser une inégalité par −12 inverse son sens. On n’a pas arrondi 16,67 au plus proche : on a choisi le premier entier qui satisfait l’inégalité.
Sans programmation, on résout l’inégalité puis on contrôle les deux rangs voisins : 200 + 50 × 16 = 1 000 et 200 + 50 × 17 = 1 050.
Comme la suite augmente de 50 chaque mois, une fois le seuil atteint, il le reste. Pour une suite décroissante, le sens du raisonnement serait différent.
5. Calculer une somme finie
Une somme de termes n’est pas le dernier terme. Pour calculer u(0) + u(1) + … + u(m), additionne les termes ou regroupe ceux des deux extrémités.
Pour ce dernier exemple, on peut aussi regrouper le premier et le dernier terme : 100 + 200 = 300 ; 120 + 180 = 300 ; 140 + 160 = 300. La somme vaut 3 × 300 = 900. Cette observation conduit à l’identité utile :
Cette formule permet de calculer à la main sans additionner chaque terme. De u(p) à u(n), bornes comprises, il y a n − p + 1 termes.
Interpréter ce que l’on additionne
La somme des montants versés chaque mois mesure les versements cumulés. La somme des soldes d’un compte à plusieurs dates n’est pas le capital final : elle compterait plusieurs fois le même argent.
6. Calcul sans outil et auto-évaluation
Pour l’épargne, écris les termes : u(0) = 200, u(1) = 250, u(2) = 300… Ou utilise la formule u(n) = 200 + 50n. Pour additionner les six premiers termes, de u(0) à u(5), regroupe le premier et le dernier, puis utilise la formule de somme.
Une suite arithmétique commence au rang 1 avec a(1) = 80 et r = −6. Donne a(10), le sens de variation et le premier rang où a(n) < 30.
Afficher la correction
a(n) = 80 − 6(n − 1), donc a(10) = 26. La suite est strictement décroissante. L’inégalité 80 − 6(n − 1) < 30 donne n > 1 + 50/6 ≈ 9,33, donc le premier rang est 10. Vérification : a(9) = 32 et a(10) = 26.
PAUSE MÉMOIRE · J’APPLIQUE
Faire une somme sans erreur
Quelle est la somme des cinq termes 2, 4, 6, 8 et 10 ?
Voir le raisonnement et la réponse
S = 5 × (2 + 10)/2 = 5 × 6 = 30. Le premier et le dernier terme sont pris en compte.
À retenir
Arithmétique signifie « même différence ». La raison donne le sens de variation. Entre les rangs p et n, il y a n − p pas, mais n − p + 1 termes dans la somme.
À toi de jouer !
Retrouve 8 exercices interactifs liés à cette leçon, avec vérification des réponses et corrigés détaillés.
La bonne routine pour retenir
Pas besoin de tout réussir du premier coup : reviens à la notion à plusieurs moments, sans relire immédiatement la correction.
- Maintenant : réponds à une pause mémoire sans regarder le cours.
- Après une pause : refais une question et explique les étapes à voix haute ou par écrit.
- Dans quelques jours : mélange cet exercice avec d’autres chapitres pour retrouver la bonne méthode.