TERMINALE STMG · 08 / PARCOURS INTERACTIF

Espérance et simulation

Six exercices progressifs : lois discrètes, gains nets, fréquences et échantillons. Sépare les probabilités théoriques des résultats observés.

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Exercices : version de lecture

Travaille sur une feuille. Les variantes et la vérification automatique nécessitent JavaScript ; les énoncés initiaux sont reproduits sans modification mathématique.

1. Loi discrète et espérance

X prend les valeurs -3, 0, 6, avec probabilités 0,2 ; 0,5 ; 0,3.

Renseigne chaque champ. Pour un résultat non exact, arrondis au millième, sauf indication contraire. La calculatrice peut servir à contrôler les calculs.

Réponses demandées : E(X) ; P(X >= 0).

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E(X)=-3×0,2+0×0,5+6×0,3=1,2. Pour X≥0, on additionne 0,5+0,3=0,8.

2. Gain brut et gain net

Jeu fictif : on paie 3 euros ; on reçoit 11 euros avec probabilité 0,3, sinon zéro. X est le gain net.

Renseigne chaque champ. Pour un résultat non exact, arrondis au millième, sauf indication contraire. La calculatrice peut servir à contrôler les calculs.

Réponses demandées : Gain net en cas de succès ; E(X).

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Le gain net est 8 en cas de succès, sinon -3. E(X)=0,3×8+0,7×(-3)=0,3. Une espérance n'est pas une promesse pour une partie.

3. Compléter une loi

X prend 0, 2 et 5. Les deux premières probabilités sont 0,3 et 0,3.

Renseigne chaque champ. Pour un résultat non exact, arrondis au millième, sauf indication contraire. La calculatrice peut servir à contrôler les calculs.

Réponses demandées : Probabilité de 5 ; E(X).

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La somme doit valoir 1 : P(X=5)=1-0,3-0,3=0,4. E(X)=0×0,3+2×0,3+5×0,4=2,6.

4. Nombre de succès et fréquence

X suit B(6 ; 0,3). La fréquence est F=X/6.

Renseigne chaque champ. Pour un résultat non exact, arrondis au millième, sauf indication contraire. La calculatrice peut servir à contrôler les calculs.

Réponses demandées : E(X) ; E(F).

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E(X)=np=1,8. En divisant les nombres de succès par 6, on divise aussi leur moyenne : E(F)=E(X)/6=0,3. Un échantillon ne donne pas nécessairement cette fréquence.

5. Lire plusieurs échantillons

Quatre échantillons de 20 essais donnent les nombres de succès : 5 ; 6 ; 4 ; 7.

Renseigne chaque champ. Pour un résultat non exact, arrondis au millième, sauf indication contraire. La calculatrice peut servir à contrôler les calculs.

Réponses demandées : Nombre total d’essais ; Moyenne des quatre fréquences.

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Il y a 4×20=80 essais. La moyenne des fréquences est (5+6+4+7)/(4×20)=0,275. N=4 désigne les échantillons ; n=20 leur taille.

6. Distribution simulée et modèle

On simule X suivant B(3 ; 0,4). Pour X=0,1,2,3, les effectifs observés sont 3 ; 4 ; 5 ; 2.

Renseigne chaque champ. Pour un résultat non exact, arrondis au millième, sauf indication contraire. La calculatrice peut servir à contrôler les calculs.

Réponses demandées : Nombre de simulations ; Moyenne observée de X ; Espérance théorique.

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Les effectifs totalisent 14. La moyenne pondérée observée vaut 1,429. Le modèle donne E(X)=3×0,4=1,2. Un écart n'invalide pas automatiquement le modèle.

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